График функции для чего нужен

Построение графиков функций

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Источник

График функции

Из Википедии — свободной энциклопедии

Гра́фик фу́нкции — геометрическое понятие в математике, дающее представление о геометрическом образе функции.

Обычно графики строят в прямоугольной системе координат, на плоскости эту систему координат называют декартовой системой координат. Также графики для повышения наглядности часто строят в других системах координат, например, в полярной системе координат или других косоугольных системах координат.

В случае использования прямоугольной системы координат, график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y), которые связаны отображаемой функцией:

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком.

Из определения графика функции следует, что далеко не всякое множество точек плоскости может быть графиком некоторой функции, например, из требования однозначности функции вытекает, что никакая прямая, параллельная оси ординат не может пересекать график функции более чем в одной точке. Если функция обратима, то график обратной функции (как подмножество плоскости) будет совпадать с графиком самой функции (это, попросту, одно и то же подмножество плоскости).

Некоторые функции определены только в конечном дискретном множестве аргумента, при этом график таких функций представляет собой множество точек, например график функции определённой как:

(3,\ c).>

График гладкой (требуемое количество раз дифференцируемой функции) является плоской кривой той же степени гладкости.

Некоторые графики имеют самостоятельные имена, например:

Источник

Графики: для чего они нужны, характеристики, виды, примеры

Содержание:

В графика Они представляют собой способ отображения информации с помощью рисунка, который дает зрителю простой способ понять, что отображается. Кроме того, они очень полезны, когда вам нужно публиковать статистику, сравнивать количества и выражать тенденции, поскольку данные, которые они представляют, обычно являются числовыми.

Они обычно используются для представления функциональных отношений между числовыми переменными или когда у вас есть значительный объем статистических данных. По этой причине их можно найти как в школьной работе, так и в бизнес-презентациях и финансовых отчетах, среди прочего.

Существуют различные типы графиков, каждый из которых имеет определенные характеристики, которые помогают более точно представить данные. Однако, если они не будут правильно зафиксированы или будут сделаны ошибки при вводе данных, они могут ухудшить понимание информации.

В большинстве случаев наиболее часто используемые диаграммы состоят из двух осей и тела, как в линейных диаграммах, пиктограммах и столбчатых диаграммах. Однако можно найти и другие типы графиков, такие как блок-схемы или картограммы, в которых используются другие методы построения и представления информации.

Обычно для представления графиков используются такие ресурсы, как линии, точки, векторы, столбцы, карты и символы. Кроме того, представления могут быть построены в двух или трех измерениях, что значительно расширяет палитру ресурсов для их разработки.

Для чего нужен график?

Графики используются для визуального представления данных о поведении одной или нескольких переменных, из которых собирается большой объем числовой информации, по отношению к временным рамкам или другим типам данных.

Легкость, с которой данные, представленные на графике, интерпретируются по сравнению с числовой таблицей, делает их очень полезными для многих секторов, от студента до бизнеса. Во многом это связано с возможностью быстрого доступа к большим блокам информации посредством визуального представления.

Точно так же графики необходимы при отображении собранных данных и сопоставлении их друг с другом в количественном исследовании. Это позволяет исследователю сделать выводы из наблюдения за графиками и представить результаты своего исследовательского проекта.

Они не только используются для представления данных, но также помогают визуализировать тенденции и модели поведения, что способствует более четкому пониманию некоторых обстоятельств.

Вы можете выбирать между различными методами и форматами отображения данных. Выбор типа графика будет зависеть от результатов, которые вы хотите отобразить в графическом представлении.

Например, если вам нужно проверить изменение цены продукта за определенный период времени, вы можете использовать линейный график. Или, если вы хотите представить проценты, полученные каждой партией на выборах, можно использовать круговую диаграмму.

Характеристики графиков

Вот некоторые характеристики графиков:

Типы графиков

Наиболее часто используемые типы графиков:

Бары

Гистограмма

Они являются производными гистограмм, разница между ними заключается в том, что на этом типе графиков вы видите только изменение переменной в отношении данных, которые анализируются.

Их особенность в том, что между прутьями нет разделения.

Круговой

Круговые диаграммы, также называемые круговыми диаграммами, представляют собой процентные доли от общего количества. Они сделаны путем деления окружности на части, где размер каждой части пропорционально связан с процентом, который вы хотите показать.

Поскольку это окружность, сумма площадей всех частей должна быть равна 360 градусам.

Линейный график

Как и гистограммы, они построены на двух осях. Обычно ось X соответствует мере времени, а ось Y соответствует изменениям другой переменной.

Они сделаны путем отметки точек на высотах, соответствующих пересечению двух переменных анализа. Эти точки соединены линией, что облегчает их чтение наблюдателем.

Этот тип графика позволяет отображать данные о нескольких измерениях одной и той же переменной по оси Y. Это достигается за счет использования разных цветов для различения линий.

Диаграмма разброса

На диаграммах рассеяния измеренные переменные представлены с помощью двух осей, одна вертикальная, а другая горизонтальная, которые имеют разные масштабы. Каждое наблюдение представлено на графике точкой, обозначающей взаимосвязь, существующую между двумя ссылочными переменными для одного и того же явления.

Их удобно использовать при большом количестве наблюдений.

Диаграмма с областями

Диаграммы с областями используются для просмотра поведения двух или более переменных в течение определенного периода времени.

Для его подготовки используются две оси: одна вертикальная, а другая горизонтальная. Измерения времени расположены на горизонтальной оси, а значения каждой переменной расположены на вертикальной оси.

В первую очередь ставится тот, у которого наивысшее значение, и точки соединяются линиями или кривыми, затем добавляются другие переменные, от самого высокого до самого низкого. Для лучшей наглядности получившиеся области между кривыми закрашены разными цветами.

Картограмма

Картограммы используются, когда необходимо представить данные, полученные в результате исследования, по определенному региону.

Они представлены в виде карты, но с той особенностью, что размер каждой области не имеет отношения к ее физическим измерениям, а скорее зависит от значения представляемой переменной. По этой причине они могут сбивать с толку их.

Их можно использовать для описания количества жителей в городе, дохода на душу населения, среди прочего.

Пиктограмма

В пиктограммах данные представлены посредством символов или изображений, которые символизируют переменную, которая подвергается воздействию.

Простота интерпретации изображения по отношению к числовым данным делает его более привлекательным для широкой публики.

Диаграмма мозаики

Они используются, когда необходимо сравнить несколько переменных и категорий на одном графике.

Пирамида населения

Эти графики используются для представления данных, таких как возраст и пол населения.

Они построены так, чтобы горизонтальная ось была разделена пополам, чтобы разделиться по полу, а их возраст или диапазон расположены на вертикальной оси.

Паутина или радиальная графика

Они построены с использованием радиальных осей, привязанных к одному и тому же началу координат, которые имеют шкалу с фиксированными значениями для всех переменных. Они могут состоять из трех или более переменных, что создает правильный многоугольник.

Для построения графика значения переменных располагаются на осях, а точки соединяются прямыми линиями, образуя неправильную форму многоугольника.

Биржевой график

С течением времени и изменениями значений отображается линия, на которой можно легко увидеть взлеты и падения рынка.

Схема

В общих чертах они используются для представления производственных процессов, в свою очередь, они состоят из логических соединителей, которые вносят изменения в поток дороги. Этим логическим соединителям назначаются разные параметры, которые зависят от выполняемого процесса.

Диаграмма Ганта

Этот рисунок позволяет оптимизировать задания, которые должны выполняться одновременно для завершения проекта.

Он состоит из горизонтальной оси, на которой расположено измерение времени, и другой вертикальной оси, на которой описываются процессы.

Контрольный график

Контрольные диаграммы полезны, когда вам нужно проверить, превышает ли переменная предварительно установленные пределы.

На горизонтальной оси выражается мера времени, а на другой вертикальной нанесены две непрерывные линии, высота которых будет максимальным и минимальным значением, которое может иметь переменная. Между этими строками изображены движения переменной во времени.

График водопада

Он используется в основном для финансов, поскольку легко отражается преобразование начального значения, к которому добавляются положительные и отрицательные значения.

Диаграмма иерархии

Подобно блок-схемам, иерархические диаграммы используются для объяснения цепочки командования организации от низшего уровня до лидера.

Диаграмма двоичного решения

Они похожи на блок-схемы, разница в том, что у логических соединителей есть только две возможности.

Лента новостей

Как следует из названия, это, по сути, временная шкала, на которой вехи отмечены в те даты, когда они произошли.

Карта солнечных лучей

Они построены аналогично круговым диаграммам, разница заключается в том, что они содержат концентрические кольца, которые спускаются по иерархии от центра к краям.

Таблицы Парето

Они представляют собой комбинацию гистограммы и линейного графика, столбцы расположены сверху вниз.

3D графика

Трехмерные графики представляют собой дополнительную ось, обычно называемую Z, к традиционным X и Y. Ось Z не только создает ощущение глубины на графике, но также позволяет ввести в график другую переменную.

Примеры графиков

Вот несколько примеров различных типов графиков:

Гистограмма

В этом примере описывается прием беженцев Соединенными Штатами с 1975 по 2019 год.

Каждая полоса показывает количество беженцев, въехавших в Соединенные Штаты за год.

Схема

На этой блок-схеме можно увидеть, что, когда переменная X достигает ромбовидного логического соединителя, у нее есть два варианта: если значение X равно 1, она переходит непосредственно к концу процесса.

С другой стороны, если значение X не равно 1, он проходит через процесс, который вычитает 1 из значения X и снова сравнивается, пока это значение не станет равным 1.

Картограмма

Эта картограмма представляет население мира в 2002 году. Почти неузнаваемая форма карты мира обусловлена ​​тем, что на картограммах размеры стран соответствуют не их физическим измерениям, а количеству их жителей.

Паутина или радиальная графика

На этом графике вы можете увидеть разницу между назначенным бюджетом (синий цвет) и фактическими расходами (оранжевый цвет) различных отделов компании. Используя этот график, вы можете четко определить, какие отделы превышают свои расходы, а какие нет.

Интересные темы

Ссылки

30 интересных фактов о человеческом теле, которые вас удивят

Антарктида: характеристики, климат, флора, фауна, страны

Источник