кубик бросают трижды среди всех возможных последовательностей результатов есть такие

Кубик бросают трижды среди всех возможных последовательностей результатов есть такие

В магазине «Все для чая» есть 5 разных чашек и 3 разных блюдца. Сколькими способами можно купить чашку с блюдцем?

Выберем чашку. В комплект к ней можно выбрать любое из трех блюдец. Поэтому есть 3 разных комплекта, содержащих выбранную чашку. Поскольку чашек всего 5, то число различных комплектов равно 15 (15 = 5 • 3).

В магазине «Все для чая» есть еще 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить комплект из чашки, блюдца и ложки?

Выберем любой из 15 комплектов предыдущей задачи. Его можно дополнить ложкой четырьмя различными способами. Поэтому общее число возможных комплектов равно 60 (60 = 15 • 4 = 5 • 3 • 4).

В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

В Стране Чудес есть четыре города: А, Б и В и Г. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В – 4 дороги, Из города А в город Г – две дороги, и из города Г в город В – тоже две дороги. Сколькими способами можно проехать от А до В?

Выделим два случая: путь проходит через город Б или через город Г. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных маршрутов: в первом – 24, во втором – 6. Складывая, получаем общее количество маршрутов: 30.

В магазине «Все для чая» по-прежнему продается 5 чашек, 3 блюдца и 4 чайные ложки. Сколькими способами можно купить два предмета с разными названиями?

Возможны три разных случая: первый – покупаются чашка с блюдцем, второй – чашка с ложкой, третий – блюдце и ложка. В каждом из этих случаев легко сосчитать количество возможных вариантов (в первом – 15, во втором – 20, в третьем – 12). Складывая, получаем общее число возможных вариантов: 47.

Понятно, что однозначных «симпатичных» чисел ровно 5. К каждому однозначному «симпатичному» числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных «симпатичных» чисел всего 5 • 5 = 25. Аналогично, трехзначных «симпатичных» чисел 5 • 5 • 5 = 125, и четырехзначных – 5 • 5 • 5 • 5 = 54 = 625.

Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?

Сколькими способами можно заполнить одну карточку в лотерее «Спорт-про-г-ноз»? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча – победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет).

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо? Указание. Сосчитайте отдельно количества одно-, двух-, трех- и четырехбуквенных слов.

Ответ: 3 + 3? + 3? + 34 = 120.

В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

Капитаном может стать любой из 11 футболистов. После выбора капитана на роль его заместителя могут претендовать 10 оставшихся человек. Таким образом, всего есть 11 • 10 = 110 разных вариантов выборов.

Сколькими способами можно сделать трехцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется материя шести различных цветов?

Цвет для верхней полоски флага можно выбрать шестью разными способами. После этого для средней полоски флага остается пять возможных цветов, а затем для нижней полоски флага – четыре различных цвета. Таким образом, флаг можно сделать 6 • 5 • 4 = 120 способами.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

Белую ладью можно поставить на любую из 64 клеток. Независимо от своего расположения она бьет 15 полей (включая поле, на котором она стоит). Поэтому остается 49 полей, на которые можно поставить черную ладью. Таким образом, всего есть 64 • 49 = 3136 разных способов.

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

Белого короля можно поставить на любое из 64 полей. Однако количество полей, которые он при этом будет бить, зависит от его расположения. Поэтому необходимо разобрать три случая:

а) если белый король стоит в углу (углов всего 4), то он бьет 4 поля (включая то, на котором стоит), и остается 60 полей, на которые можно поставить черного короля;

б) если белый король стоит на краю доски, но не в углу (таких полей – 24), то он бьет 6 полей, и для черного короля остается 58 возможных полей;

в) если же белый король стоит не на краю доски (таких полей – 36), то он бьет 9 полей, и для черного короля остается 55 возможных полей.

Таким образом, всего есть 4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55 = 3612 способов расстановки королей.

Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых цифры 1, 2, 3 встречаются ровно по одному разу?

Будем рассуждать точно так же, как при решении задач предыдущего цикла. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе – любую из двух оставшихся, а на третье – последнюю оставшуюся цифру. Таким образом, всего получается 3 • 2 • 1 = 3! чисел.

Сколькими способами можно выложить в ряд красный, черный, синий и зеленый шарики?

На первое место можно положить любой из четырех шариков, на второе – любой из трех оставшихся, на третье – любой из двух оставшихся, а на четвертое – последний оставшийся шарик. Итак, ответ: 4 • 3 • 2 • 1 = 4!.

Задача 17: Слово – любая конечная последовательность букв русского алфавита. Выясните, сколько различных слов сожно составить из слов

а) Так как все буквы слова различны, то всего можно получить 6! слов.

б) В этом слове две буквы И, а все остальные буквы разные. Временно будем считать разными и буквы И, обозначив их через И1 и И2. При этом предположении получится 5! = 120 разных слов. Однако те слова, которые получаются друг из друга только перестановкой букв И1 и И2, на самом деле одинаковы. Таким образом, полученные 120 слов разбиваются на пары одинаковых. Поэтому разных слов всего 120:2 = 60.

в) Считая три буквы А этого слова различными (А1, А2, А3), получим 8! разных слов. Однако слова, отличающиеся лишь перестановкой букв А, на самом деле одинаковы. Поскольку буквы А1, А2, А3 можно переставлять 3! способами, все 8! слов разбиваются на группы по 3! одинаковых. Поэтому разных слов всего 8!/3!.

г) В этом слове три буквы С и две буквы И. Считая все буквы различными, получаем 11! слов. Отождествляя слова, отличающиеся лишь перестановкой букв И, но не С, получаем 11!/2! различных слов. Отождествляя теперь слова, отличающиеся перестановкой букв С, получаем окончательный результат 11!/(2! • 3!).

В стране 20 городов, каждые два из которых соединены авиалинией. Сколько авиалиний в этой стране?

Каждая авиалиния соединяет два города. В качестве первого города можно взять любой из 20 городов (город А), а в качестве второго – любой из 19 оставшихся (город В). Перемножив эти числа, получаем 20 • 19 = 380. Однако при этом подсчете каждая авиалиния учтена дважды (первый раз, когда в качестве первого города был выбран город А, а второго – город В, а второй раз – наоборот). Таким образом, число авиалиний равно 380:2 = 190.

Сколько диагоналей в выпуклом n-угольнике?

Бусы – это кольцо, на которое нанизаны бусины. Бусы можно поворачивать, но не переворачивать. Сколько различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Предположим теперь, что бусы можно и переворачивать. Сколько тогда различных бус можно сделать из 13 разноцветных бусин?

Сколько существует 6-значных чисел, в записи которых есть хотя бы одна четная цифра?

Вместо того, чтобы подсчитывать количество требуемых 6-значных чисел, определим количество 6-значных чисел, не обладающих нужным свойством. Так как это в точности те числа, в записи которых встречаются только нечетные цифры, то их количество, очевидно, равно 56 = 15625. Всего 6-значных чисел 900000. Поэтому количество 6-значных чисел, обладающих указанным свойством, равно 900000 – 15625 = 884375.

В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

В киоске «Союзпечать» продаются 5 видов конвертов и 4 вида марок. Сколькими способами можно купить конверт с маркой?

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «КРУЖОК»?

На доске написаны 7 существительных, 5 глаголов и 2 прилагательных. Для предложения нужно выбрать по одному слову каждой из этих частей речи. Сколькими способами это можно сделать?

У двух начинающих коллекционеров по 20 марок и по 10 значков. Честным обменом называется обмен одной марки на одну марку или одного значка на один значок. Сколькими способами коллекционеры могут осуществить честный обмен?

Ответ: 20 • 20 + 10 • 10 = 500

Сколько существует 6-значных чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?

Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

Сколькими способами из полной колоды (52 карты) можно выбрать 4 карты разных мастей и достоинств?

Ответ: 13 • 12 • 11 • 10

На полке стоят 5 книг. Сколькими способами можно выложить в стопку несколько из них (стопка может состоять и из одной книги)?

Ответ: 5 + 5 • 4 + 5 • 4 • 3 + 5 • 4 • 3 • 2 + 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 325

Сколькими способами можно поставить 8 ладей на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга?

На танцплощадке собрались N юношей и N девушек. Сколькими способами они могут разбиться на пары для участия в очередном танце?

Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Ответ: 18 • 17/2 = 153

Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?

Ответ: a) 64 • 49/2 = 1568 б) (4 • 60 + 24 • 58 + 36 • 55)/2 = 1806 в) (28 • 56 + 20 • 54 + 12 • 52 + 4 • 50)/2 = 1736 г) (4 • 61 + 8 • 60 + 20 • 59 + 16 • 57 + 16 • 55)/2 = 1848 д) (28 • 42 + 20 • 40 + 12 • 38 + 4 • 36)/2 = 1288

У мамы два яблока, три груши и четыре апельсина. Каждый день в течение девяти дней подряд она дает сыну один из оставшихся фруктов. Сколькими способами это может быть сделано?

Сколькими способами можно поселить 7 студентов в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски комплект белых фигур (король, ферзь, две ладьи, два слона и два коня)?

Сколько слов можно составить из пяти букв А и не более чем из трех букв Б?

Ответ: 1 + 6!/5!1! + 7!/5!2! + 8!/5!3! = 84

Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинакоые цифры?

Решение: 9 • 109 – 9 • 9!

Каких 7-значных чисел больше: тех, в записи которых есть 1, или остальных?

Источник

Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (2001-02 гг.) 9 класс

Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (2001-02 гг.)

Всего 9 однозначных чисел и 90 двузначных, то есть они занимают 189 цифр в записи исходного числа. Получаем , третья цифра 604-ого трёхзначного числа (703). Ответ: 3.

2. Докажите, что, если каждое из двух данных чисел является суммой квадратов двух целых чисел, то и их произведение является суммой квадратов двух целых чисел.

Пусть x=a2+b2, а y=c2+d2, где a, b, c, d – целые числа. Произведение . Полученное равенство подтверждает исходное утверждение.

Решение:

Преобразуем уравнение, пользуясь равенством y2=|y|2.

|y|2-|x|2=|y|-|x|; (|y|-|x|)(|y|+|x|)-(|y|-|x|)=0; (|y|-|x|)(|y|+|x|-1)=0.

— две пересекающиеся прямые

— квадрат с центром в начале координат

Квадратное уравнение имеет вид x2+ax+1-b=0. Пусть x1 и x2 – корни уравнения. По теореме Виета .

a2=(x1+x2)2; b=1-x1x2, откуда a2+b2=(x1+x2)2+(1-2x1x2+x12x22)=x12+1+x22+x12x22=(x12+1)(x22+1). Оба множителя отличны от единицы, так как корни отличны от нуля, значит число составное.

5. Внутри правильного 2001-угольника выбрано 3 точки. Для каждой из них найдена сумма расстояний до всех прямых, содержащих стороны многоугольника. Эти три суммы оказались одинаковыми. Значит ли это, что выбранные три точки являются вершинами равностороннего треугольника?

6. Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их?

Количество всех возможных вариантов 63, в то же время количество вариантов, где шестёрка не встречается 53. Получаем, что шестёрка встречается в 63-53 случаях. Ответ: 91.

Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (2001-02 гг.)

1. При каких значениях x, число является синусом некоторого числа?

Число будет являться синусом некоторого числа, если оно по абсолютной величине меньше либо равно 1.

. Так как |x-3|+2>0, то неравенство равносильно следующей системе: Ответ: .

2. При условии доказать, что .

; ; ;

Равенство имеет место, если выполняется хотя бы одно из условий: a=-b; a=-c; b=-c.

Пусть a=-b, тогда a2001=-b2001 подставим в равенство, которое необходимо доказать: ; , равенство выполняется. Для a=-c и b=-c рассуждения аналогичны.

3. Решите систему уравнений .

Второе равенство выполняется только при x=y=z.

Параллелограмм делится любой диагональю на 2 треугольника площадью 60 см2 каждый.

. Отсюда SKBL=10 см2.

Аналогично находим: SLCM=10 см2, SMDN=9 см2, SNAK=24 см2. Откуда находим площадь искомого четырёхугольника: SKLMN=SABCD-(SKBL+SLCM+SMDN+SNAK)=120-53=67 см2. Ответ: 67 см2.

5. Найдите наименьшее натуральное число, являющееся решением неравенства: .

Проверяем наименьшее возможное натуральное число x=1.

— верно. Ответ: x=1.

.

Нули функции: . Точки, в которых функция не существует x 4, x 2. Нас интересует наименьшее натуральное решение. Очевидно это x=1, принадлежащее .

6. Есть три кучки камней: в первой – 5, во второй – 10, в третьей – 15. Играют двое. За ход разрешается разбить любую кучку на две меньшие. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре (начинающий играть или второй)? Ответ обосновать.

Начальное количество кучек 3, конечное – 30. За каждый ход общее количество кучек увеличивается на 1. Получаем, что после хода первого общее их количество становится чётным всегда, то есть последний ход за первым. Ответ: выиграет первый (независимо от стратегии).

Всероссийская математическая олимпиада 2 тур (2001-02 гг.)

1. Докажите, что не делится на .

Очевидно, что первое число – нечётное, а второе – чётное. Нечётное на чётное делиться не может.

2. Художественная школа хочет приобрести набор цветных карандашей на сумму 1110 рублей. Набор из 2-х карандашей стоит 20 рублей, набор из 16 карандашей – 140 рублей, набор из 23 карандашей стоит 210 рублей. Сколько наборов стоит купить, чтобы общее количество купленных карандашей было наибольшим при заданных условиях?

; ; .

4. При условии x>0 решите уравнение: .

Пусть , где |y|≤1, тогда — квадратное относительно y.

; . Решив уравнение, получим значения y=2x и .

Так как x>0, то (неразрешимо) или . Используя неравенство Коши: . Откуда получаем два уравнения: и . Решив второе получим корень x=1, удовлетворяющий первому уравнению. Ответ: x=1.

Параллелограмм делится любой диагональю на 2 треугольника площадью 60 см2 каждый.

. Отсюда SKBL=10 см2.

Аналогично находим: SLCM=10 см2, SMDN=9 см2, SNAK=24 см2. Откуда находим площадь искомого четырёхугольника: SKLMN=SABCD-(SKBL+SLCM+SMDN+SNAK)=120-53=67 см2. Ответ: 67 см2.

6. На собеседование пришли 65 школьников. Им предложили 3 контрольные работы. За каждую контрольную ставилась одна из оценок: 2, 3, 4 или 5. Верно ли, что найдутся два школьника, получившие оценки на всех контрольных? Ответ обосновать.

Количество различных вариантов оценок по контрольным 43=64, однако школьников 65. Получаем, что обязательно найдутся 2 школьника получившие одинаковые оценки по контрольным (по принципу Дирихле). Ответ: да, верно.

Источник

Кубик бросают трижды среди всех возможных последовательностей результатов есть такие

Командная игра проходила по следующим правилам. Требуется в письменном виде сдавать полные решения задач. Если жюри признаёт написанный текст полным решением, команда получает 7 баллов. В противном случае с команды снимается 2 балла, а решение возвращается команде на доработку. Число попыток не ограничено.

При проверке жюри не объясняет, в чём заключаются ошибки или недочёты в непринятом решении. Может быть, решение было возвращено команде на доработку всего лишь из-за арифметической ошибки или из-за отсутствия в решении доказательства всего одного перехода, а может быть, из-за того, что решение полностью неверно.

По итогам игры были награждены 5 команд:
„Мы” (Савенков Константин, Щербонос Егор) 38 баллов
„Неопределён” (Фабиянчук Евгений, Залесский Саша) 36 баллов
„Орлы свободы” 29 баллов
„Огненная стрела” (Мелешко Роман, Павлов Сергей, Зыков Игорь) 28 баллов
„Трио” 16 баллов

1. На доске выписаны цифры 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Вставим между некоторыми из них знаки „ + ” так, чтобы сумма оказалась трёхзначным числом. Какое наибольшее число может получиться? 2. Игральный кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестёрка. Сколько их? 3. Если каждой девочке дать по одной шоколадке, а каждому мальчику по две, то шоколадок хватит. А если каждому мальчику дать по одной шоколадке, а каждой девочке по две, то их не хватит. А если девочкам не давать шоколадок вообще, то хватит ли каждому мальчику по три шоколадки? 4. В некоторых ячейках стеклянной коробки 3×3×3 лежит по одной конфете. Алёша, Ваня и Серёжа смотрят на эту коробку с трёх сторон: Алёша — спереди, Ваня — сверху, а Серёжа — сбоку. Сколько конфет может лежать в коробке, если все они видят по 9 конфет? 5. Сколько есть трёхзначных чисел, у которых сумма двух крайних цифр вдвое больше средней цифры? 6. В ряд стоит 1000 горящих фонарей — № 1, № 2, № 3. № 1000. Возле первого сидит 1000 лягушек — в очереди — лягушка № 1, лягушка № 2, № 3. № 1000. Скоро лягушки по очереди начнут прыгать на фонари. Когда какая-то лягушка прыгает на фонарь, он меняет свое состояние — с горящего на потухший или наоборот. Первая лягушка будет прыгать на все фонари подряд, вторая — на 2, 4, 6, и т.д., т.е. только на чётные фонари, третья лягушка — на 3, 6, 9. и т.д., — каждая лягушка будет прыгать на те фонари, номер которых делится на ее номер. Итак, вначале все фонари горят, потом первая лягушка, прыгая на них подряд, все гасит, вторая, прыгая по чётным, их зажигает, и т.д. Какие фонари в конце будут потухшими, а какие будут гореть? 7. В 25 коробках лежат шарики нескольких цветов. Известно, что при любом k (1 ≤ k ≤ 25) в любых k коробках лежат шарики ровно k + 1 различных цветов. Обязательно ли найдётся такой цвет, что шарики этого цвета лежат во всех коробках? 8. Отметили центр каждого из квадратиков прямоугольника 3×2013. Сколько существует прямых, которые проходят ровно через три отмеченные точки? 9. Четыре подружки поделили между собой 1001 конфету, при этом каждой девочке досталось конфет или столько же, сколько какой-то из её подружек, или ровно в два раза меньше, чем одной из них. Как могли распределиться конфеты? 10. Каким наименьшим количеством одинаковых картонных клетчатых фигур, изображённых на рисунке, можно полностью покрыть квадрат 6×6 клеток? Фигуры могут пересекаться и вылезать за пределы квадрата, их можно поворачивать и переворачивать.

Источник