на медиане вм треугольника авс взяли точку е так что угол сем равен углу авм

Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах»

Урок-лекция «Теорема Менелая в задачах».

Данная теорема в школьном курсе математики относится к категории тех знаний, которые дают далеко не во всех школах, но для успешной сдачи ЕГЭ знать её совершенно необходимо, так как эта теорема применяется для решения геометрических задач №14 и №16. Также эта теорема часто используется для решения олимпиадных задач.

На ЕГЭ и различных олимпиадах часто встречаются задачи на нахождение отношений длин отрезков, площадей и объёмов. При решении таких задач часто удобно использовать теорему Менелая.

Начнём с задачи №1. Точка Р лежит на стороне АС треугольника АВС, причём АР:РС=1:3. Найти, в каком отношении медиана АМ делит отрезок ВР.

Ответ: 1:4. Решение несложное, но нужно догадаться сделать дополнительное построение, а это искусственный приём. Хотелось бы решить задачу, следуя определённому алгоритму. Этот алгоритм и даёт теорема Менелая. Эта теорема доказывается в третьей книге «Сферики» древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского (около 100 года нашей эры).

Теорема Менелая.

(*)

Из подобия соответствующих треугольников получим:

.

Замечание. Справедлива и обратная теорема. Как она формулируется? Докажите её.

Соотношение (*) легко восстановить в памяти, если понять закономерность в записи отношений в нём. Выбираем треугольник и прямую, пересекающую две его стороны. Начинаем обход треугольника из какой-либо его вершины так, чтобы вершины чередовались с точками на сторонах.

Что будет, если прямая а пройдёт через вершину треугольника? Ответ: ничего. Теорема Менелая в этом случае не работает.

Что будет, если выбрать другую вершину для старта или пойти в другую сторону? Ответ: будет то же самое. Просто изменится последовательность дробей.

Решение 2 задачи №1. По теореме Менелая для  РВС и прямой АМ имеем:

.

Дополнительный вопрос: чему равно отношение площадей треугольников АОР и МОВ?

При решении задач на отношение площадей часто полезна формула для площади треугольника .

. Нужно найти отношение АО:ОМ. В этом снова поможет теорема Менелая, для D АМС и прямой ВР, имеем: . Тогда .

Упражнение. Начертите треугольник АВС и прямую, пересекающую две его стороны. Задайте два каких-либо отношения отрезков на сторонах и найдите третье отношение отрезков внутри треугольника. Каково отношение площадей полученных треугольников?

Задача №2. (Гор. Ол-да 2012/13, 9 кл). Точка K лежит на стороне А B треугольника АВС. Отрезок СК пересекает медиану АМ треугольника в точке Р, причём АР=АК. Найти отношение ВК:РМ.

Решение. По теореме Менелая для  АВМ и прямой СК имеем:

.

Задача №3. В треугольнике ABC проведена медиана BK, точка Р находится на отрезке ВС. О трезки ВК и АР пересекаются в точке М, причём ВР = МР, длина ВС = 1. Найти длину отрезка АМ.

По теореме Менелая для треугольника АСР и прямой ВК имеем :

. По условию АК = КС и ВР = РМ, поэтому СВ = МА = 1.

Рассмотрим задачи ОГЭ, ЕГЭ и олимпиад, в которых теорема Менелая используется совместно с другими геометрическими теоремами: подобием, теоремой Фалеса, свойством биссектрисы. Вспомним их.

З адача №4. (№8, Математика 6-8, июнь 1995). В треугольнике ABC проведена прямая, параллельная АС. Эта прямая пересекает сторону АВ в точке Р, медиану АМ – в точке Т, а сторону BС в точке К. Найти длину АС, если РТ=3, ТК=5.

Решение. По теореме Менелая для треугольника PKB и прямой AM имеем . (*)

З адача №5. (№ 26 ОГЭ). В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 28. Найдите стороны треугольника ABC.
В Интернете встречается решение такой задачи с помощью дополнительного построения и далее либо подобия, либо нахождения площадей, и только после этого сторон треугольника. Т.е. оба этих способа требуют дополнительного построения. Однако решение такой задачи с помощью свойства биссектрисы и теоремы Менелая не требует никаких дополнительных построений. Оно гораздо проще и рациональнее.

По теореме Менелая для треугольника B Е C и прямой АД имеем . Но KE + BK=28, отсюда BK = 21; KE = 7.

По теореме Пифагора для треугольника A К B . По теореме Пифагора для треугольника A КЕ .

Ответ: AВ = 7√13; ВС=14  13; AC = 21√5.

З адача №6. ( № 2.18.2, Гордин, 2016). В треугольнике ABC высота AH равна 30, медиана BM равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков BM и AH до стороны BC равно 6.

а) Докажите, что BH : CH =1 : 3.

б) Найдите площадь треугольника AMB.

а) По теореме Менелая для треугольника АСН и прямой ВМ имеем .

б) По теореме Менелая для треугольника ВСМ и прямой КН имеем . Так как ВМ=25, то ВК=10, ВМ=15. По теореме Пифагора ВН=8, тогда СН=24, а ВС=32.

Из  КНВ . . Ответ: 240.

В заключении заметим, что существует и пространственная теорема Менелая. Она связывает отношения отрезков, которые получаются на рёбрах тетраэдра при пересечении его плоскостью, не параллельной ни одной из его граней.

Задачи для самостоятельного решения.

№ 1. В треугольнике А ВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD : DC = 2:1. В каком отношении медиана СЕ делит эту биссектрису (СЕ и AD пересекаются в точке О)?

а) Решить задачу, используя дополнительные построения.

б) Решить задачу с помощью теоремы Менелая. Ответ: 3:1.

№ 3. (МО Екатеринбург, 97/98, областной тур, 8 кл). На стороне BC треугольника ABC выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке E так, что AE = BC. Докажите, что BF = FE.

Источник

Геометрия 7 класс, помогите, отдаю кучу баллов, хотя-бы 1 задачку любую помогите!

7. На медиане BD треугольника АВС установили точки E I K так, чтобы BE = EK = KD. Известно, что AD = AK и AB = 10 см. Найдите CE.

8. На сторонах АС и ВС треугольника АВС установили cсоответственно D и E так, что BE = DE. Известно что AE перпендикулярно BD. Доведите, что AB= AD.

9. Медиана AD, высота BE и биссектриса CF треугольника АВС переминаются в точке О. Известно, что BO = OC. Доведите, что треугольник ABC равносторонний.

10. У треугольника АВС на стороне АВ установили точку К и провели биссектрису КЕ треугольника АКС и высоту КH треугольника BKC. Известно что угол EKH = 90 градусов и HC = 5 см. Найдите сторону BC.

11. Точка D – середина медианы АF треугольника ABC Прямая СD переминает сторону АВ в точке Е. Известно, что ВD=ВF. Доведите, что АE=DE.

12. В равнобедренном треугольнике ABC с основой АС проведено медианы АN и СМ. Доведите, что AC параллельно МN.

13. В равнобедренном треугольнике ABC с основой АС провели биссектрису АD. Известно, что ВD = АС. Доведите, что АD=АС.

15. В треугольнике DEF из точки Е проведено перпендикуляр к стороне DF, который переминает ее в точке К. Доведите, что если DК=FК, то ЕD=ЕF.

18. Биссектриса угла при вершине равнобедренного треугольника ВD= 7 см. Найдите периметр треугольника АВС, если АВ=ВС и периметр треугольника АBD 23 см.

19. На стороне АС равностороннего треугольника АВС взяли точку М, а на продолжении стороны ВС за вершину С взяли точку К так, что АМ=СК. Доведите, что ВМ=МК.

16. В равнобедренном треугольнике высоты пересекаются в одной точке. Это значит что прямая, которая соединяет точку пересечения высот с вершиной треугольника, сама является высотой, а, как известно, высота, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание, является биссектрисой его вершины, и, соответственно, делит угол при вершине пополам, что и требовалось доказать.

Источник