на продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка кв
На продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка кв
Площадь треугольника АВС равна 12. На прямой АС взята точка D так, что точка С является серединой отрезка AD. Точка K — середина стороны AB, прямая KD пересекает сторону BC в точке L.
a) Докажите, что BL : LC = 2 : 1.
б) Найдите площадь треугольника BLK.
а) Соединим отрезками точки B и D, A и L. Рассмотрим треугольник АВD. Ясно, что L — точка пересечения медиан этого треугольника. Отсюда BL : LC = 2 : 1, что и требовалось доказать.
б) Как известно, медианы треугольника, пересекаясь в одной точке, делят его на 6 равновеликих треугольников. Учитывая то, что L — точка пересечения медиан 
а также 
получим:
Точка D делит сторону AC в отношении AD : DC = 1 : 2.
а) Докажите, что в треугольнике ABD найдётся медиана, равная одной из медиан треугольника DBC.
б) Найдите длину этой медианы в случае, если AB = 7, BC = 8, и AC = 9.
а) Обозначим середины отрезков BA, BD, BC за E, F, G соответственно. Тогда EG — средняя линия треугольника ABC, и точка F лежит на ней. Поскольку FG — средняя линия DBC, то 
Итак, в четырехугольнике AFGD две стороны равны и параллельны, значит, он параллелограмм и 
б) По теореме косинусов в треугольнике ABC имеем 
откуда 
По теореме косинусов в треугольнике DGC имеем 
откуда 
Ответ: 
Площадь треугольника ABC равна 10; площадь треугольника AHB, где H — точка пересечения высот, равна 8. На прямой CH взята такая точка K, что треугольник ABK — прямоугольный.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника ABK.
а) Заметим, что 
поскольку тогда 
или 
как перпендикуляры к одной прямой. Значит, 
Обозначим основания высот треугольника 
за 
Тогда точки K, B, A, A1, B1 лежат на окружности с диаметром 
(из-за прямых углов). заметим, что 
— основание перпендикуляра из 
на 
Перепишем требуемое утверждение:
Это верно из-за подобия треугольников 
и 
по двум углам: действительно, 
б) Из пункта а) следует, что 
Ответ: 
На продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка кв
На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1.
Пусть точки P и A лежат по одну сторону от прямой CD (рис. 1). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому
Пусть DH — высота треугольника ADP. Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Пусть теперь точки P и A лежат но разные стороны от прямой CD (рис. 2). Треугольник ADP — равнобедренный (AD = DC = DP = 1), поэтому 
Из прямоугольного треугольника ADH находим, что
Ответ: 
или 
На наш взгляд, в ответе можно было оставить выражения 
и 
Тем не менее, на примере вычисления значения 
укажем два способа нахождения этих величин:
или, используя формулу половинного угла:
Заметим, кстати, что одно из возможных доказательств равенства полученных выражения сводится к выделению полного квадрата из-под знака корня:
Что должны или не должны знать школьники, вопрос сложный. В любом случае, вы как преподаватель имеете возможность научить их находить и . Знать их наизусть, действительно, не нужно. Полученный вами ответ проверьте, он отличается от правильного.
хочется предложить другой вариант решения, без использования синуса и косинуса 15 градусов. В треугольнике ADP угол ADP равен 30 или 150 градусов, стороны AD и DP равны 1, значит, можно найти площадь треугольника ADP через стороны и синус угла между ними и по теореме косинусов найти AP. Зная площадь и AP, легко находим DH как высоту, проведенную к AP
Почему если решать разными способами, то получаются разные ответы??
Может стоит еще взять на себя труд установить, что, на самом деле, ответ получается один и тот же? Если, конечно, решения верны.
Прямая, проведённая через середину N стороны AB квадрата ABCD, пересекает прямые CD и AD в точках M и T соответственно и образует с прямой AB угол, тангенс которого равен 4. Найдите площадь треугольника BMT, если сторона квадрата ABCD равна 8.
Пусть α — угол между прямыми MT и AB. По условию 
поэтому точка M лежит на стороне DC, а для точки T возможны только два случая: точка T лежит на продолжении стороны AD за точку A или на продолжении стороны AD за точку D.
Рассмотрим первый случай. Заметим, что 
Отрезок 
поэтому 
Значит, 
Кроме того, 
Следовательно, 
Во втором случае 
По-прежнему 
Следовательно, 
Почему в первом случае площадь треугольника BNT находится как половина произведения катетов, если там непрямоугольный треугольник и АТ вообще не является стороной этого треугольника.
Очевидно, там нет никаких прямоугольных треугольников и никаких катетов. AT — является высотой указанного треугольника.
В прямоугольнике ABCD AB = 2, 
Точка E на прямой AB выбрана так, что ∠AED = ∠DEC. Найдите AE.
Введём обозначения, как показано на рисунке. По свойству параллельных прямых 
Следовательно, треугольник 
равнобедренный, и 
Получаем, что треугольник 
— прямоугольный с гипотенузой 
и катетом 
По теореме Пифагора 
Точка 
может лежать как по одну, так и по другую сторону от точки 
Если точка лежит между 
и 
(точка 
на рисунке), то 
Если точка лежит между и (точка 
на рисунке), то 
На продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка кв
Точки E и K — соответственно середины сторон CD и AD квадрата ABCD. Прямая BE пересекается с прямой CK в точке O.
а) Докажите, что вокруг четырёхугольника ABOK можно описать окружность.
б) Найдите AO, если сторона квадрата равна 1.
а) Треугольники BCE и CDK равны по двум катетам, следовательно,
то есть прямая BE перпендикулярна прямой CK. Тогда в четырёхугольнике ABOK: ∠BAK = ∠BOK = 90°. Поэтому вокруг него можно описать окружность.
б) Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе 
Уравнение прямой KC: 
уравнение прямой BE: 
Координаты точки O найдём из системы уравнений
Тогда расстояние между 
и 
равно
Приведём другое решение п. а).
Повернём треугольник BCE на 90° по часовой стрелке и параллельным переносом совместим точку B с точкой C. Тогда треугольник BCE наложится на CKD, прямая BE совпадет с прямой CK. Поскольку после поворота прямые совпали, до поворота угол между ними был 90°.
Приведём другое решение п. б).
Прямоугольные треугольники BCE и BAK равны по двум катетам, значит, 
то есть на хорды AO и AB описанной около четырёхугольника ABOK окружности опираются равные углы. Таким образом, 
Приведём решение п. б) Андрея Плюхина.
Продолжим отрезок CK до точки F пересечения с прямой AB. Прямоугольные треугольники KDC и KAF равны по катету и острому углу, поэтому AF = ВС = 1, а точка A — середина BF.
Точка O принадлежит окружности с центром в точке A и диаметром BF, так как эта точка — вершина прямого угла, стягивающего диаметр BF. Следовательно, AO = AB = AF = 1 — радиус этой окружности.
Второй абзац этого решения можно заменить таким рассуждением: из суммы углов получаем, что угол FOB прямой, следовательно, АО является медианой прямоугольного треугольника и равна половине гипотенузы.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, На продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка квЗагрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD с нижним основанием AD площади треугольников ABD и BDC равны соответственно 12 и 4, а точка G является серединой BD. Ниже прямой AD выбрана точка Е, АЕ = BD, а на отрезке ЕС выбрана точка F такая, что CF в 4 раза короче СЕ. а) Докажите, что угол BFG равен 90°. б) Найдите длину отрезка BD, если дополнительно известно, что Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке Е. Известно, что площадь каждого из треугольников АВЕ и DCE равна 1. а) Докажите, что ABCD — параллелограмм или трапеция. б) Найдите ВС, если площадь всего четырехугольника не превосходит 4, а AD = 3. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Биссектрисы углов С и D четырехугольника ABCD пересекаются в точке К. Диагональ BD разбивает отрезок КС в отношении 2 : 1, считая от вершины С. При этом площадь треугольника ACD в два раза больше площади треугольника AKD. а) Докажите, что угол CKD прямой. б) Найдите ВК, если ВС = 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием BD. а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC на сторонах AB и BC заданы соответственно точки M и N такие, что AM = MB, BN : NC = 1 : 2. Отрезки CM и AN пересекаются в точке O. а) Докажите, что расстояние от точки O до прямой AC равно б) Найдите расстояние от точки O до прямой AC, если ∠BAC = 30°, ∠BCA = 45°, AC = 8. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На продолжении стороны ав квадрата авсд взята точка к такая что а середина отрезка квЗагрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает боковые стороны AB и CD в точках M и N. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Прямая MN пересекает стороны OA и OD треугольника AOD в точках K и L соответственно. а) Докажите, что MK = NL. б) Найдите MN, если известно, что BC = 3, AD = 8 и MK : KL = 1 : 3. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом четырехугольнике KLMN точки A, B, C, D — середины сторон KL, LM, MN, NK соответственно. Известно, что KL = 3. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O. Площади четырехугольников KAOD, LAOB и NDOC равны соответственно 6, 6 и 9. а) Докажите, что площади четырехугольников MCOB и NDOC равны. б) Найдите длину отрезка MN. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD AD и BC — основания, O — точка пересечения диагоналей. а) Докажите, что выполняется равенство б) Найдите площадь трапеции ABCD, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан квадрат ABCD со стороной 7. На сторонах BC и CD даны точки M и N такие, что периметр треугольника CMN равен 14. а) Докажите, что B и D — точки касания вневписанной окружности треугольника CMN, а её центр находится на вершине A квадрата ABCD. б) Найдите угол MAN. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом пятиугольнике ABCDE диагонали BE и CE являются биссектрисами углов при вершинах B и C соответственно. а) Докажите, что точка E есть центр вневписанной окружности для треугольников OCB, где O — точка пересечения прямых CD и AB. б) Найдите площадь пятиугольника ABCDE, если угол A равен 35°, угол D равен 145°, а площадь треугольника BCE равна 11. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точке О, длина диагонали BD равна 12. Расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников AOD и COD, равно 16. Радиус окружности, описанной около треугольника AOB, равен 5. Найти площадь параллелограмма ABCD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Через вершину C квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке K, а серединный перпендикуляр к стороне AB — в точке M. Найдите Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Продолжения сторон AD и BC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке M, а продолжения сторон AB и CD — в точке O. Отрезок MO перпендикулярен биссектрисе угла AOD. Найдите отношение площадей треугольника AOD и четырехугольника ABCD, если OA = 12, OD = 8, CD = 2. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции KLMN известны боковые стороны KL = 36, MN = 34, верхнее основание LM = 10 и Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Площадь равнобедренной трапеции равна Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан параллелограмм ABCD. Точка M лежит на диагонали BD и делит ее в отношении 2 : 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь четырехугольника ABCM равна 60. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Периметр трапеции равен 112. Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну из боковых сторон на отрезки, равные 8 и 18. Найдите основания этой трапеции. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В ромбе ABCD со стороной 2 и углом 60° проведены высоты CM и DK. Найдите длину отрезка MK. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали трапеции равны 13 и Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне CD квадрата ABCD построен равносторонний треугольник CPD. Найдите высоту треугольника ADP, проведённую из вершины D, если известно, что сторона квадрата равна 1. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD ВС и AD — основания. Биссектриса угла А пересекает сторону CD в ее середине — точке Р. а) Докажите, что ВР – биссектриса угла АВС. б) Найдите площадь трапеции ABCD, если известно, что AP = 8, BP = 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка E — середина стороны AD параллелограмма ABCD, прямые BE и АС взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке О. а) Докажите, что площади треугольников АОВ и СОЕ равны. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если AB = 3, BC = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Пусть О — точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD. Периметры треугольников AOB, BOC, COD и DOА равны между собой. А) Докажите, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Б) Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник DOA, если радиусы окружностей, вписанных в треугольники AOB, BOC и COD равны соответственно 3, 4 и 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали равнобокой трапеции ABCD пересекаются под прямым углом. ВН — высота к большему основанию CD, EF — средняя линия трапеции. а) Докажите, что BH = DH. б) Найдите площадь трапеции, если EF = 5. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Трапеция ABCD с углами при одном основании а) Докажите, что отношение площади трапеции к площади круга выражается формулой б) Найдите площадь прямоугольной трапеции Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Прямая p, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, пересекает прямые AB, AC, BD и CD в точках E, F, G и H соответственно, причём EF = FG. а) Докажите, что точки пересечения прямой p с диагоналями AC и BD делят отрезок EН на три равных части; б) Найдите EF, если BC = 3, AD = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции параллельно основаниям проведены четыре отрезка с концами на боковых сторонах: KL, MN, RS и TQ. Известно, что первый отрезок проходит через точку пересечения диагоналей трапеции, второй — делит ее на два подобных четырехугольника, третий — соединяет середины боковых сторон, четвертый разбивает трапецию на две равновеликие части. а) Найдите длины этих отрезков. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В равнобокой описанной трапеции ABCD, где угол B тупой, а BC и AD — основания, проведены: 1) биссектриса угла B; 2) высота из вершины С; 3) прямая, параллельная AB и проходящая через середину отрезка CD. а) Докажите, что все они пересекаются в одной точке. б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей трапеции ABCD, если известно, что BC = 8, AD = 18. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD площадью, равной 30, диагонали АС и BD взаимно перпендикулярны, а ∠BAC = ∠CDB. Продолжения боковых сторон AB и CD пересекаются в точке K. А) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная. Б) Найдите площадь треугольника AD, если известно, что ∠ AKD=30°, а BC Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В четырехугольник ABCD биссектриса угла С пересекает сторону AD в точке M, а биссектриса угла А пересекает сторону BC в точке K. Известно, что AKCM — параллелограмм. а) Докажите, что ABCD — параллелограмм. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если BK = 3, AM = 2, а угол между диагоналями AC и BD равен 60°. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме (отличном от ромба) проведены биссектрисы четырех углов. А) Докажите, что в четырехугольнике, ограниченном биссектрисами, диагонали равны. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Площади треугольников AOB и COD равны. а) Докажите, что точки A и D одинаково удалены от прямой ВС. б) Найдите площадь треугольника AOB, если известно, что AB = 13, BC = 10, CD = 15, DA = 24. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AD и BC параллелограмма AВCD взяты соответственно точки M и N, причем ВN : NC = 1 : 3. Оказалось, что прямые AN и АС разделили отрезок BM на три равные части. а) Докажите, что точка M — середина стороны АD параллелограмма. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если известно, что площадь четырехугольника, ограниченного прямыми АN, AС, BM и BD равна 16. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки K, M, P, E — середины сторон AB, BC, CD, и DA соответственно. а) Докажите, что площадь четырёхугольника KMPE равна половине площади четырёхугольника ABCD. б) Найдите большую диагональ четырёхугольника KMPE, если известно, что AC = 6, BD = 8, а сумма площадей треугольников AKE и CMP равна Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме АВСD диагональ ВD равна стороне AD. а) Докажите, что прямая СD касается окружности ω, описанной около треугольника АВD. б) Пусть прямая СВ вторично пересекает ω в точке К. Найдите КD : AC при условии, что угол ВDA равен Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями АD и BС. Окружности, построенные на боковых сторонах этой трапеции, как на диаметрах, пересекаются в точках Р и К. а) Докажите, что прямые РК и ВС перпендикулярны. б) Найдите длину отрезка РК, если известно, что АD = 20, BC = 6, AB = 16, DC = 14. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Диагонали АС и СЕ правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что АМ : АС = СN : СЕ и точки В, М и N лежат на одной прямой. а) Докажите, что точки В, О, N и D лежат на одной окружности (точка О — центр шестиугольника). б) Найдите отношение АМ : АС. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны АD. Отрезок ВЕ пересекает диагональ АС в точке Р, АB = PD. а) Докажите, что отрезок ВЕ перпендикулярен диагонали АС. б) Найдите площадь параллелограмма, если АВ = 2 см, ВС = 3 см. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК, ВМ и СN. На стороне АВ выбрана точка Р так, что окружность описанная около треугольника РКМ касается стороны АВ. а) Докажите, что угол КАМ равен углу МВС. б) Найдите РN, если РА = 30, РВ = 10. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка E — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезки CK и BE пересекаются в точке O. а) Докажите, что CO = KO. б) Найдите отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет 0,09 площади трапеции ABCD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В равнобедренной трапеции ABCD основание AD в два раза больше основания BC. а) Докажите, что высота CH трапеции разбивает основание AD на отрезки, один из которых втрое больше другого. б) Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найдите расстояние от вершины C до середины отрезка OD, если BC = 16 и AB = 10. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей а) Докажите, что сумма углов А, В, С, D, E в вершинах произвольной 5‐конечной везды равна 180° (рис.1). б) Найдите площадь 5‐конечной звезды, вершины которой совпадают с пятью вершинами правильного шестиугольника, если известно, что сторона последнего равна 6 (рис. 2). Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике АВС точка М — середина АС. а) Докажите, что длина отрезка ВМ больше полуразности, но меньше полусуммы длин сторон АВ и ВС. б) Окружность проходит через точки В, С, М. Найдите хорду этой окружности, лежащую на прямой АВ, если известно, что АВ = 5, ВС = 3, ВМ = 2. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В трапеции ABCD BC||AD, стороне CD, пересекает сторону АВ в точке М, а сторону CD — в точке N. а) Докажите подобие треугольников АВN и DCM б) Найдите расстояние от точки А до прямой ВN, если МС = 5, ВN = 3, а расстояние от точки D до прямой МС равно 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Два борта бильярдного стола образуют угол 7°, как указано на рисунке. На столе лежит бильярдный шар A, который катится без трения в сторону одного из бортов под углом 113°. Отражения от бортов абсолютно упругие. Сколько раз шар отразится от бортов? Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне BC треугольника ABC отмечена K точка так, что AK = 4, ВК = 9, КС = 3. Около треугольника ABK описана окружность. Через точку C и середину D стороны AB проведена прямая, которая пересекает окружность в точке P, причем CP > CD и а) Докажите подобие треугольников АВС и АКС; Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Площадь трапеции ABCD равна 30. Точка Р — середина боковой стороны АВ. Точка R на боковой стороне CD выбрана так, что 2CD = 3RD. Прямые AR и PD пересекаются в точке Q, AD = 2BC. а) Докажите, что точка Q — середина отрезка AR б) Найдите площадь треугольника APQ. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан прямоугольник ABCD. Окружность с центром в точке В и радиусом АВ пересекает продолжение стороны АВ в точке М. Прямая МС пересекает прямую AD в точке К, а окружность во второй раз в точке F. а) Докажите, что DK = DF. б) Найдите КС, если BF = 20, DF = 21. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне ВС треугольника АВС отмечена точка К. Оказалось, что отрезок АК пересекает медиану ВD в точке Е так, что АЕ = ВС. а) Докажите, что ВК = КE. б) Найдите площадь четырехугольника CDEК, если известно, что АВ = 13, АЕ = 7, АD = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Точки L и M являются соответственно серединами сторон BC и AD. Отрезок LM содержит точку K. Четырехугольник ABCD таков, что в него можно вписать окружность. а) Докажите, что четырехугольник ABCD трапеция. б) Найдите радиус этой окружности, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В четырехугольнике ABCD через каждую его вершину проведена прямая, проходящая через центр вписанной в него окружности. Три из этих прямых обладают тем свойством, что каждая из них делит площадь четырехугольника на две равновеликие части. а) Докажите, что и четвертая прямая обладает тем же свойством. б) Какие значения могут принимать углы этого четырехугольника, если один из них равен 108°? Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка N делит диагональ трапеции ABCD в отношении а) Какую часть площади трапеции составляет площадь четырехугольника MBCN? б) Найдите длину отрезка MN, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точки K и L являются серединами боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC. Точка M расположена на медиане AL так, что а) Найти радиус окружности ω. б) Найти периметр треугольника ABC. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Внутри параллелограмма ABCD взята точка K так, что треугольник CKD равносторонний. Известно, что расстояния от точки K до прямых AD, AB и BC равны соответственно 3, 6 и 5. а) Найдите площадь параллелограмма. б) Окружность, описанная около треугольника CKD пересекает сторону AD в точке P. Найдите отношение Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты ADMN и BCRS, расположенные вне трапеции. Диагонали трапеции пересекаются в точке T. а) Докажите, что центры квадратов и точка T лежат на одной прямой. б) Найдите длину отрезка RN, если Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В параллелограмме ABCD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки О до точки А и прямых AD и AC равны соответственно 10, 8 и 6. а) Докажите, что ABCD — прямоугольник. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дана трапеция ABCD с основаниями а) Найдите площадь трапеции. б) Найдите радиус окружности ω. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей а) Докажите, что четырёхугольник ADA1B1 — параллелограмм. б) Найдите CD, если отрезки AD и ВС перпендикулярны, АС = 63, ВС = 25. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC1 и медиану AA1. Оказалось, что точки A, A1, C, C1 лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне CD трапеции ABCD отмечена точка M, которая является серединой этой стороны. а) Докажите, что б) На стороне CD отмечена точка K, такая, что Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника АВС вторично пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке L. Прямая, проходящая через точку L и середину N гипотенузы АВ, пересекает катет ВС в точке М. а) Докажите, б) Найдите площадь треугольника АВС, если AB = 20 и Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В прямоугольном треугольнике АВС точка M лежит на катете АС, а точка N лежит на продолжении катета ВС за точку С причем СМ = ВС и CN = AC. а) Отрезки СH и CF — высоты треугольников АСВ и NCM соответственно. Докажите, что прямые СН и CF перпендикулярны. б) Прямые ВМ и AN пересекаются в точке L. Найдите LM если ВС = 4, а АС = 8. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка Е — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки ВЕ и СК пересекаются в точке L. а) Докажите, что EL — медиана треугольника КСЕ. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне АВ треугольника АВС взята точка Е, а на стороне ВС — точка D так, что АЕ = 2, CD = 1. Прямые AD и СЕ пересекаются в точке О. Известно, что АВ = ВС = 8, АС = 6. а) Докажите, что АО : АD = 8 : 11. б) Найдите площадь четырехугольника BDOE. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что а) Докажите, что треугольник ACD равнобедренный. б) Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Отрезки AK, BL, CN — высоты остроугольного треугольника АВС. Точки Р и Q — проекции точки N на стороны АС и ВС соответственно. а) Докажите, что прямые PQ и KL параллельны. б) Найдите площадь четырехугольника PQKL, если известно, что CN = 12, AC = 13, BC = 15. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC на продолжении стороны AC за вершину A отложен отрезок AD, равный стороне AB. Прямая, проходящая через точку A параллельно BD, пересекает сторону BC в точке M. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAC. б) Найдите площадь трапеции AMBD, если площадь треугольника ABC равна 216 и известно отношение AC : AB = 5 : 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, причём треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90°) и AK = 2AN. Точка B — середина стороны KN. а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN. б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точки E и F расположены соответственно на стороне ВС и высоте ВР остроугольного треугольника АВС так, что AP = 3, а) Докажите, что ортогональная проекция точки Е на АС делит отрезок АС в отношении 1 : 16, считая от вершины С. б) Найдите площадь треугольника AEF. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В выпуклом четырехугольнике KLMN точки P и Q — середины сторон NK и LM соответственно. Диагональ КМ делит точкой пересечения отрезок PQ пополам. а) Докажите, что площадь четырехугольника KLMN в 4 раза больше площади треугольника PMN. б) Найдите синус угла между диагоналями четырехугольника, вершинами которого служат середины сторон четырехугольника KLMN, если площадь PMN равна Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC биссектрисы AK и BL пересекаются в точке I. Известно, что около четырёхугольника CKIL можно описать окружность. а) Докажите, что угол BCA равен 60°. б) Найдите площадь треугольника ABC, если его периметр равен 25 и IC = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O. а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 12, BD = 13. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 4. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей На сторонах AC, AB и BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C вне треугольника ABC построены равнобедренные прямоугольные треугольники AKC, ALB и BMC с прямыми углами K, L и M соответственно. а) Докажите, что LC — высота треугольника KLM. б) Найдите площадь треугольника KLM, если LC = 6. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырехугольника ABCD, AB = BM, MC = CD. Биссектрисы углов ABC и BCD пересекаются в точке P, лежащей на стороне AD. а) Докажите, что четырехугольник ABCD — трапеция. б) Найдите площадь четырехугольника ABCD, если известно, что BM : CM = 1 : 3 и площадь четырехугольника, ограниченного прямыми AM, DM, BP и CP, равна 18. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, причем AM : CM = 2 : 3 и а) Докажите, что угол ABC тупой. б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC. Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан параллелограмм ABCD с острым углом A. На продолжении стороны AD за точку D взята точка N такая, что CN = CD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка M, что AD = AM. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC = 7, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей Дан параллелограмм ABCD с острым углом А. На продолжении стороны AD за точку D взята точка M, такая, что CM = СD, а на продолжении стороны CD за точку D взята такая точка N, что AD = AN. а) Докажите, что BM = BN. б) Найдите MN, если AC = 4, Загрузка решений доступна для зарегистрировавшихся пользователей
|
а 
В каком отношении прямая DL делит сторону AB?
где BH высота треугольника ABC.
если 
Найдите BC, если AB = 12.
Найдите диагональ LN.
Угол между диагональю и основанием на 20 градусов больше угла между диагональю и боковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если ее диагональ равна 2.
а высота равна 5. Найдите площадь трапеции.
и 
описана около круга.
если 
а площадь вписанного круга равна 
Прямая, перпендикулярная
и 
Длины оснований BC и AD относятся как 
Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M.
Окружность ω с центром в точке M касается прямой AC и пересекает прямую KL в точках P и Q, 
а 
сторона 
Продолжения боковых сторон пересекаются в точке K, образуя прямой угол AKD. Окружность ω проходит через точки А и В и касается стороны CD в точке P.
причем AD = 2BC. Расстояние от точки D до прямой AB равно 10. Найдите расстояние от точки K до стороны AB.
и 
Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD = 20.
BE : EC = 10 : 1, а треугольник AEF является равносторонним.
KM = 12, NL = 8.
