найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

Найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

На каждой из ста карточек записано по одному числу, отличному от нуля, так, что каждое число равно квадрату суммы всех остальных.
Какие это числа?

Решение

Каждое из этих чисел является квадратом числа, отличного от нуля, поэтому все записанные числа положительны. Докажем, что все они одинаковы.

Первый способ. Предположим, что число, записанное на одной из карточек, больше числа, записанного на другой. Отложим карточку с большим числом в сторону. По условию это число равно квадрату суммы остальных чисел. Поменяем местами карточки с большим и меньшим числами. Тогда отложенное число уменьшилось, а сумма всех остальных чисел (а значит и её квадрат) увеличилась, и равенство уже выполняться не может.

Обозначим число, записанное на каждой карточке, через x. Тогда (99x)² = x. Так как x ≠ 0, то x = 1 /_99².

Ответ

Сто чисел, каждое из которых равно 1 /_99².

Источники и прецеденты использования

Источник

Найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

Поскольку 2013, 15 и 77 — нечётные числа, их произведение тоже нечётно (вспомните предыдущее занятие!), то есть не делится на 2. Поскольку 80 делится на 2, все числа, делящиеся на 80, должны быть чётными. Значит, число 2013 · 15 · 77 не делится также и на 80.

Число 15 делится на 3, поэтому и всё произведение делится на 3. На 9 ни один из сомножителей не делится, зато два из них (15 и 2013) делятся на 3, поэтому всё произведение делится на 9 (ведь 9 = 3·3). Аналогично, поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 7, произведение делится на 35 = 5·7; поскольку 15 делится на 5, а 77 делится на 11, произведение делится на 55 = 5·11; поскольку 2013 делится на 2013, а 3 делится на 3, произведение делится на 6039 = 2013·3.

Сначала заметим, что среди всех простых чисел только одно чётное — это число 2. Действительно, любое другое чётное натуральное число делится, кроме единицы и самого себя, ещё и на 2, и потому не является простым.

Теперь предположим, что магический квадрат удалось составить из первых 25 простых чисел. Среди них есть двойка, а остальные 24 числа — нечётные. В той строке, где окажется двойка, сумма всех чисел будет чётной, ведь там одно чётное число и четыре нечётных. Во всех остальных строках все числа будут нечётными, а сумма пяти нечётных слагаемых также нечётна. Поэтому сумма чисел во всех строках не может оказаться одинаковой. Полученное противоречие доказывает, что магический квадрат невозможно составить из первх 25 простых чисел.

Замечание. Ответ на первый вопрос задачи можно было получить проще. Число 111 нечётное, поэтому при возведении в степень (то есть при умножении само на себя несколько раз) тоже будет давать нечётное число. Число 1 также нечётно. А разность двух нечётных чисел чётна, то есть делится на 2.

а) Начнём последовательно выписывать последние цифры степеней тройки. Для нахождения последней цифры очередной степени тройки достаточно брать последнюю цифру предыдущей степени, умножать её на 3 и брать последнюю цифру результата. Получим следующую цепочку: 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1. (проверьте!). Видно, что на каждом четвёртом месте в этой последовательности стоит единица. Поскольку 100 делится на 4, на сотом месте тоже будет стоять единица. То есть последняя цифра числа 3 100 равна 1.

Источник

Найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

Задача 1:
Баба-Яга и Кащей собрали некоторое количество мухоморов. Количество крапинок на мухоморах Бабы-Яги в 13 раз больше, чем на мухоморах Кащея, но после того, как Баба-Яга отдала Кащею свой мухомор с наименьшим числом крапинок, на ее мухоморах стало крапинок только в 8 раз больше, чем у Кащея. Докажите, что в начале у Бабы-Яги было не более 23 мухоморов.

Задача 2:
Про натуральные числа A, B и C известно, что частное от деления A на B больше удвоенного остатка от деления A на B, а частное от деления B на C больше удвоенного остатка от деления B на C. Докажите, что частное от деления A на C больше удвоенного остатка от деления A на C.

Задача 3:
Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку C проведена прямая, параллельная медиане BM. Две полученные прямые пересекаются в точке E. Докажите, что BE = AD.

Задача 4:
Известно, что сумма нескольких данных положительных чисел равна сумме их квадратов. Что больше: сумма кубов или сумма четвертых степеней этих чисел?

Задача 5:
В турнире по олимпийской системе (т.е., в каждом туре оставшиеся игроки разбиваются на пары, и проигравшие выбывают) играли 256 человек. Каждому присвоили квалификационный номер – от 1 до 256. Партия называется неинтересной, если разность номеров участников больше 21. В турнире все партии оказались интересными. Докажите, что участник с номером 1 одержал не более двух побед.

Задача 6:
Докажите, что любое натуральное число, большее 11, можно представить как сумму двух составных чисел.

Задача 7:
В треугольнике ABC проведена медиана AM. Известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABM и ACM, равны. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Задача 8:
В выпуклом четырехугольнике ABCD точка M – середина стороны CD, точка N – середина стороны DA. Чему равна сумма площадей треугольников ABM, BCN и ACD, если площадь четырехугольника ABCD равна 1?

Задача 9:
На доске написаны цифры 1, 2, 3, 4. Разрешается, взяв несколько цифр, составить из них число A. Затем число A умножается на 7 и цифры полученного числа записываются обратно на доску вместо взятых нами цифр. Можно ли с помощью таких операций добиться того, чтобы на доске были написаны цифры 1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,6?

Задача 10:
Существуют ли 19 последовательных чисел, сумма которых делится на 87?

Задача 11:
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки D и E соответственно, причем BD:DA = BE:EC = 1:2. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Докажите, что если OD = OE, то треугольник ABC – равнобедренный.

Задача 12:
Найдите все натуральные N такие, что N³ – 7 делится на N – 2.

Задача 13:
Существуют ли целые числа a,b,c, для которых (3a – b)(3b – c)(3c – a) = 5005?

Задача 14:
Две окружности касаются внешним образом в точке A. К окружностям проведены параллельные касательные: к первой в точке B, ко второй в точке C, причем точка A не лежит между касательными. Докажите, что угол BAC прямой.

Задача 15:
Могут ли шесть попарных разностей для четырех чисел совпадать с числами 2, 2, 3, 4, 5, 6?

Задача 16:
Пусть M и K – точки на сторонах AC и BC треугольника ABC, O – точка пересечения отрезков AK и BM. Найдите площадь треугольника ABC, если треугольники AMO и BKO имеют площадь 8, а треугольник KMO имеет площадь 4.

Источник

Найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

1. Из цифр 1, 2 и 5 составляют различные трёхзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Найдите сумму всех таких трёхзначных чисел. Ответ дайте в виде целого числа.

2. Найдите площадь прямоугольного треугольника, один катет которого на 2/3 больше другого и на 2/3 меньше гипотенузы. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

3. Убывающая последовательность a, b, c — геометрическая прогрессия, а последовательность 279a, 1535b/11 и c/11 — арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель геометрической прогрессии. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. Если решений нет, в ответ запишите 0.

5. Каков наибольший объём пирамиды SABC, у которой AB=5, AC=8 и sin∠BAC=45, а все боковые рёбра SA,SB,SC образуют с плоскостью основания одинаковые углы, не превышающие 60∘? Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

6. На 21 карточке написаны числа 11,12,13,…,31 соответственно (по одному числу на карточке). Участники математического кружка Вася, Петя и Миша собрались разделить между собой все эти карточки так, чтобы каждому досталась хотя бы одна карточка и ни у кого не нашлось пары карточек, разность чисел на которых нечётна. Сколько существует способов такого дележа? Ответ дайте в виде целого числа.

7. Числа p и q подобраны так, что парабола y=qx−x2 пересекает гиперболу xy=p в трёх различных точках A,B и C, причём сумма квадратов сторон треугольника ABC равна 378, а точка пересечения его медиан находится на расстоянии 3 от начала координат. Найдите произведение pq. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. Если возможных различных значений произведения pq окажется несколько, в ответе укажите их сумму.

8. Для всех троек (x,y,z), удовлетворяющих системе 2sinx=tgy, 2cosy=ctgz, sinz=tgx, найдите наименьшее значение выражения cosx−sinz. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой.

9. Сколько существует натуральных чисел n∈[20052019;20182004], для которых число [(3+17√2)n] нечётно?
(Здесь через [x] обозначено наибольшее целое число, не превосходящее x.) Ответ дайте в виде целого числа.

10. Найдите наименьшее из решений неравенства
(−log2(120−2x*sqrt(32−2x)^2+|log_2((120−2x2x*sqrt(32−2x))/(x^2-2x+8)^3))/(5log_7(71−2x*sqrt(32−2x))−2log_2(120−2x*sqrt(32−2x)))⩾0. Ответ дайте в виде действительного числа, округлив его при необходимости стандартным образом до сотых. Целую и дробную части разделяйте точкой. Если наименьшего решения не существует, в ответ запишите 0.

Источник

Найдите все такие тройки чисел что каждое число равно квадрату суммы двух остальных

2. Найдите наибольшее значение выражения 3sin^5x-4cos^5x, если x удовлетворяет равенству 2(sin^2x-sinx)+cos^2x-cos^3x=0.

4. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC внешним образом построен равнобедренный треугольник AMB (BM=AM=5). Найдите максимальную длину отрезка CM, если \angle BAC=arcsin\frac<3><5>.

5. Найдите все значения a и b, при которых уравнения x(x^2-2x-7)=a и x(x^2+3x-2)=b имеют два общих корня. В ответе укажите наибольшее возможное значение a+b.

6. Найдите количество 6-значных чисел, произведение цифр которых делится на 63.

7. Пусть x,y,z – натуральные числа. Известно, что произведение xy^2z^3=1089994752. На какую максимальную степень двойки может делиться x^2+y^2+z^2?

8. В ряд в порядке возрастания выписали все семизначные числа. Потом те из них, в записи которых встречаются цифры 0, 7, 8 или 9, вычеркнули. Какое число будет стоять на 201123 месте?

9. Вершина A основания ABCD правильной пирамиды SABCD совпадает с вершиной конуса, вершины B и D лежат на его боковой поверхности, вершина S – на окружности основания этого конуса, а вершина C – в плоскости его основания. Найдите объем конуса, если объем пирамиды равен \frac<6><\sqrt2\pi>.

10. Коля сложил 27 чисел, в десятичной записи которых используется одна и та же цифра N и не используются никакие другие цифры. Какое наименьшее число, большее 6521315190, он мог получить?

Источник