теория вероятности в повседневной жизни
Зачем нужна теория вероятностей в жизни
Именно под таким названием мы и провели вебинар — «Зачем нужна теория вероятностей в жизни».
В вебинаре мы не касались «жёлтых» тем типа «как выигрывать у казино» и «100% способ получить миллион без регистрации и SMS«.
Наоборот, были затронуты более серьёзные. Вот сам вебинар:
Идея похожего математического аппарата используется в Индии: можно купить билетик у мафии и кататься в общественном транспорте бесплатно, а полученные вами штрафы оплатит мафия. Называется «хафта» и выгодно вам и мафии, но не государству.
Подробно разбирается механизм лотереи — как идёт распределение средств и как происходит игра на эмоциях, когда одного победителя показывают по телевизору, а миллионы проигравших — нет. Эта идея была почерпнута из выступления на TED об ошибочных ожиданиях.
Также описывается открытие закона больших чисел и его применение сейчас.
А глядя на карту преступности страны, можно легко увидеть, что в одних регионах в 3 раза меньше шансов стать жертвой преступления, чем в других. Сам термин «уровень преступности» — статистический, это количественная характеристика преступности, и стоит отметить, что когда такой подход к оценке преступности был впервые представлен в 1832 во Франции, он вызвал смятение из-за стабильности полученных данных.
Ещё темы, затронутые в вебинаре:
Кстати, в анонсе вебинара использовался такой факт: в мае 2015 года Россия потеряла управление над космическим аппаратом «Прогресс». Как рассчитать, упадёт ли аппарат на сушу (или на конкретную страну). Сможете дать ответ? На наш взгляд, это отличный пример для иллюстрации геометрического подхода для расчёта вероятностей.
Теория вероятности в жизни людей
Основы теории вероятностей нужно знать каждому человеку для формирования правильного мировоззрения, для осознания того, что мы живем в случайном, вероятностном мире.
Психология человека такова, что ему неуютно среди случайностей. Он жаждет определенности и справедливости, ищет причин и объяснений. Часто таким образом возникают суеверия: например, среди африканских племен распространено поверье о том, что бывают просто львы и львы, в которых переселились души умерших. Последние на людей не нападают. Это объяснение не несет полезной информации, поскольку нет признаков, по которым заранее можно было бы определить, из какой категории лев, но оно успокаивает психологически. Точно так же появляются известные всем суеверия при сдаче экзаменов. Некоторые суеверия, кстати, основаны на частотных совпадениях (например, мелких неприятностей и встреч с черной кошкой). Это относится и к приметам, которые порой подмечают вероятностные закономерности. Так, поговоркам «Беда никогда не приходит одна» или «Жизнь, она полосатая» соответствует в теории вероятностей закон серий.
Следует помнить и то, что мы живем в мире, где происходят случайные события, и то, что закономерности пробиваются через массу случайностей. Чем сложнее система, тем труднее обнаружить закономерности. Именно в этих случаях и используют вероятностные методы. [4]
Таким образом, теория вероятности актуальна в наши дни как в математике и точных науках, так и в нашей повседневной жизни.
Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений. Путем наблюдений (испытаний, экспериментов), т.е. опыта в широком смысле слова, происходит познание явлений действительного мира [1].
Теория вероятностей – раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта [2, с.13].
Теория вероятностей – это раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними [3].
Основные объекты теории вероятностей – случайные события, случайные величины, случайные процессы, то есть фактически весь окружающий нас мир [4, с.6].
Событие – это то, что может произойти или нет при выполнении определённого комплекса условий, или, как говорят, при проведении испытания. Среди возможных событий выделяют достоверные и невозможные. Если при каждом испытании всегда происходит некоторое событие, то оно называется достоверным. Если при испытании некоторое событие заведомо не может произойти, то оно называется невозможным. Если событие не является достоверным или невозможным, то оно часто называется случайным [5, с.10].
Во многих областях человеческой деятельности существуют ситуации, когда определённые явления могут повторяться неограниченное число раз в одинаковых условиях. Анализируя последовательно результаты таких простейших явлений, как подбрасывание монеты, игральной кости, выброс карты из колоды и т.п., мы замечаем две особенности, присущие такого рода экспериментам. Во-первых, не представляется возможным предсказать исход последующего эксперимента по результатам предыдущих, как бы ни было велико число проведённых испытаний. Во-вторых, относительная частота определённых исходов по мере роста числа испытаний стабилизируется, приближаясь к определённому пределу [6, с.8].
Рассмотрим теорию вероятностей на очень простых примерах. Если у нас в ящике лежит 10 пронумерованных шаров с цифрами от 1 до 10, то вероятность вытянуть шар с числом 10 равна 10 процентам. Но более вероятней, что мы вытянем любое другое число от 1 до 9, а не самое большое (не 10), поскольку такая вероятность составляет 90 процентов. Вытянуть шар с самым большим числом из 10000 пронумерованных шаров уже слишком маловероятно. Скорее всего, мы вытянем любое другое число (не 10000). При 10 миллионах шарах вытянуть самое большое число (10000000) практически невозможно [7].
Главным понятием теории вероятностей является вероятность. Это слово «вероятность», синонимом которого является, например, слово «шанс» достаточно часто применяется в повседневной жизни. Думаю, каждому знакомы фразы: «Завтра, вероятно, выпадет снег», или «вероятнее всего в выходные я поеду на природу», или «это просто невероятно», или «есть шанс получить зачет автоматом». Такого рода фразы на интуитивном уровне оценивают вероятность того, что произойдет некоторое случайное событие. В свою очередь математическая вероятность дает некоторую числовую оценку вероятности того, что произойдет некоторое случайное событие.
Теория вероятностей оформилась в самостоятельную науку относительно не давно, хотя история теории вероятностей началась еще в античности. Так, Лукреций, Демокрит, Кар и еще некоторые ученые древней Греции в своих рассуждениях говорили о равновероятностных исходах такого события, как возможность того, что вся материя состоит из молекул. Таким образом, понятие вероятности использовалось на интуитивном уровне, но оно не было выделено в новую категорию. Тем не менее, античные ученые заложили прекрасный фундамент для возникновения этого научного понятия. В средние века, можно сказать, и зародилась теория вероятности, когда были приняты первые попытки математического анализа, таких азартных игр как кости, орлянка, рулетка [8].
Первые подходы к оценке вероятности того или иного события были популярны еще в Средневековье среди «гамлеров» того времени. Однако тогда они имели лишь эмпирическое исследование (то есть оценка на практике, методом эксперимента) [9].
Первые научные работы по теории вероятностей появились в 17 веке. Когда такие ученые как Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли некоторые закономерности, которые возникают при бросании костей. В ту же пору к данному вопросу проявлял интерес еще один ученый Христиан Гюйгенс. Он в 1657 в своей работе ввел следующие понятия теории вероятностей: понятие вероятности как величины шанса или возможности; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса, а также теоремы сложения и умножения вероятностей, которые правда не были сформулированы в явном виде. Тогда же теория вероятностей стала находить сферы своего применения – демографию, страховое дело, оценку ошибок наблюдений [8].
Вероятностные представления довольно успешно применялись ещё в 18 веке такими выдающимися учеными как Лаплас, Лагранж, Лежандр, Гаусс для оценки ошибок измерений, в результате чего уже в то время были заложены основы теории ошибок [10, с.3].
Дальнейшее развитие теории вероятностей привело к необходимости аксиоматизации теории вероятностей и главного понятия – вероятности. Так становление аксиоматики теории вероятностей произошло в 30 гг 20 века. Самый существенный вклад в заложение основ теории внес Космогоров А.Н.
На сегодняшний день теории вероятностей это самостоятельная наука, имеющая огромную сферу применения [8].
Последние десятилетия характеризуются резким повышением интереса к тем разделам математики и ее приложений, которые анализируют явления, носящие «случайный» характер. Эта тенденция в значительной степени объясняется тем, что большинство возникших в последние десятилетия новых математических дисциплин, которое ныне обозначается собирательным термином «кибернетика», оказалось тесно связанным с теорией вероятностей. Тем самым теория вероятностей стала чуть ли не самой первой по прикладному значению из всех математических дисциплин. При этом возникновение новых, в большинстве своем «порожденных» теорией вероятностей наук, скажем «теория игр», «теория информации», «страховая математика» или «стохастическая финансовая математика» привело к положению, при котором теорию вероятностей также приходится рассматривать как объединение большого числа разнородных и достаточно глубоко развитых математических дисциплин [10, с.4].
Людей всегда интересовало будущее. Человечество во все времена искало способ его предугадать, или спланировать. В разное время разными способами. В жизни мы часто сталкиваемся со случайными явлениями. Чем обусловлена их случайность – нашим незнанием истинных причин происходящего или случайность лежит в основе многих явлений? Споры на эту тему не утихают в самых разных областях науки. Случайным ли образом возникают мутации, насколько зависит историческое развитие от отдельной личности, можно ли считать Вселенную случайным отклонением от законов сохранения? [8]
Примеров реального использования теории вероятности в жизни множество. Практически вся современная экономика базируется на ней. Выпуская на рынок определенный товар, грамотный предприниматель наверняка учтет риски, а также вероятности покупки в том или рынке, стране и т.д. Практически не представляют свою жизнь без теории вероятности брокеры на мировых рынках. Предсказывание денежного курса (в котором точно не обойтись без теории вероятности) на денежных опционах дает возможность зарабатывать на данной теории серьезные деньги.
Теория вероятности имеет значение в начале практически любой деятельности, а также ее регулирования. Благодаря оценке шансов той или иной неполадки (например, космического корабля), мы знаем, какие усилия нам нужно приложить, что именно проверить, что вообще ожидать в тысячи километров от Земли. Возможности теракта в метрополитене, экономического кризиса или ядерной войны – все это можно выразить в процентах. А главное, предпринимать соответствующие контрдействия исходя из полученных данных. [9]
Решения чаще всего принимаются эмоционально. Люди боятся летать самолетами. А между тем, самое опасное в полете на самолете – это дорога в аэропорт на автомобиле. Но попробуй кому-то объяснить, что машина опасней самолета. Вероятность того, что пассажир, севший в самолет, погибнет в авиакатастрофе составляет примерно 1/8000000. Если пассажир будет садиться каждый день на случайный рейс, ему понадобится 21000 лет чтобы погибнуть. По исследованиям: в США в первые 3 месяца после терактов 11 сентября 2001 года погибло еще одна тысяча людей. косвенно. Они в страхе перестали летать самолетами и начали передвигаться по стране на автомобилях. А так как это опасней, то количество смертей возросло. По телевидению пугают: птичьим и свиными гриппами, терроризмом, но вероятность этих событий ничтожна по сравнению с настоящими угрозами. Опасней переходить дорогу по зебре, чем лететь на самолете.
Или другой пример – от падения кокосов погибает около 150 человек в год. Это в десятки раз больше, чем от укуса акул. Но фильма «Кокос-убийца» пока не снято. Подсчитано, что шанс человека быть подвергнутым нападению акулы составляет 1 к 11,5 млн, а шанс погибнуть от такого нападения 1 к 264,1 млн. Среднегодовое количество утонувших в США составляет 3306 человек, а погибших от акул 1. Миром правит вероятность и нужно помнить об этом. Они помогут вам взглянуть на мир с точки зрения случая [8].
Таким образом, теорию вероятностей нельзя не применять в нашей жизни. Она имеет разные области применения такие как: биологические и химические процессы, история, экономика, кораблестроение и машиностроение, медицина и большинство различной деятельности человека. Люди применяют её как сознательно, так и подсознательно, что проявляется в обычных повседневных фразах и действиях. Разумный человек должен стремиться мыслить, исходя из законов вероятностей. Теория вероятностей – это одна из составляющих частей успеха. Если стремиться учитывать законы вероятностей и, в том случае, если вероятность неблагоприятная, предпринимать соответствующие контрдействия, то можно упростить себе жизнь в разы и сэкономить своё время, которое так ценно для каждого из нас.
Список использованных источников
Савельева Р. Ю. Основы теории вероятностей и математической статистики [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://открытыйурок.рф/статьи/526665/ (дата обращения – 24.01.2018)
Кибзун А. И. Теория вероятностей и математическая статистика. Базовый курс с примерами и задачами [Текст]: учебное пособие/А. И. Кибзун, Е. Р. Горяинова, А. В. Наумов, А. Н. Сиротин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 224 с.
Теория вероятностей и основные понятия теории [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://bookmaker-ratings.ru/wiki/teoriya-veroyatnostej-i-osnovny-e-ponyatiya-teorii/ (дата обращения 24.01.2018)
Крупкина Т. В. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/Т. В. Крупкина, С. В. Бабенышев, Е. С. Кирик. – Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2007. – 199 с.
Семенов В. А. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст]: учебное пособие/В. А. Семенов. – Санкт-Петербург: Питер, 2013. – 192 с.
Володин И. Н. Лекции по теории вероятностей и математической статистике [Текст]: учебник/И. Н. Володин. – Казань: (Издательство), 2006. – 271 с.
Вишня Ю. Теория вероятности в жизни [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://allowwonder.com/teoriya-veroyatnosti-v-zhizni/ (дата обращения – 6.02.2018)
Агеев В. В. Введение в теорию вероятностей [Текст]: учебно-методическое пособие/В. В. Агеев, М. С. Тихов. – Нижний-Новгород: ФГБОУВПО Нижегородский Государственный университет им. Н.И. Лобачевского Национальный исследовательский университет, 2012. – 32 с.
Поднять 100 долларов или пройти мимо? Теория вероятностей в повседневной работе
Удивительное дело, но мы чаще действуем полагаясь на интуицию, чем на здравый смысл и расчет. К сожалению, это касается не только личной жизни, но и работы. Помните старую историю о том, стоит ли Биллу Гейтсу подбирать бумажку в сто долларов из под ног? Шутники рассчитывали сколько зарабатывает Гейтс в минуту и утверждали, что поднимая бумажку он тратит свое время неэффективно.
Как вы считаете, стоило ему поднимать эти деньги? Не спешите с ответом. Пусть Гейтс зарабатывает в минуту 64 тысячи долларов. Это условное число. Нужно ли поднять бумажку в сто долларов? Подумайте.
И тут мы получаем, ловушку, которая заложена изначально в самой постановке вопроса. Гейтс не затрачивает свое личное время для того, чтобы приумножать состояние, это делают деньги на банковских счетах. Поэтому нагнувшись, Билл получит дополнительные сто долларов и это выигрышная ситуация для него. Чувствуете разницу в постановке вопроса? Я не беру в рассмотрение то, что эмоционально как и любой человек, он обрадуется тому, что нашел такую купюру. И это будет связано с тем, что найти сто долларов редкая удача и мало кто может похвастаться этим. Вы находили сто долларов? Только отвечайте честно. Если да, то что ощущали? Вероятность такого события крайне мала, отсюда высокая эмоциональная окраска.
Об автобусе и горилле на поле, шоу на ТВ и открытие двери с гоночным автомобилем, который можно забрать домой. Теория вероятностей в действии.
В нашей работе часты ситуации, когда надо принимать решение и мы сталкиваемся с двумя типами проблем. Недостаток информации. А также неверная интерпретация исходных условий, невнимательность к деталям. Второй тип проблем можно исправить тщательностью в подготовке. Давайте немного остановимся на таких проблемах.
Проблема №1. Неверная интерпретация исходных условий
В институте мы проводили математический тест на способность считать в уме. Вы можете потренироваться в нем, с вашими друзьями и знакомыми, он отнимет, буквально, несколько минут.
Как правило, начинают считать количество людей, просят вас повторять сколько человек вышло, сколько осталось. Но ваш вопрос звучит иначе, — «Сколько остановок проехал автобус?». Правильно на этот вопрос отвечают единицы, так как изначально ожидают типичного действия, а именно расчетов, так как тест на математику и вы об этом упоминали. Это типичный тест показывающий, что человек не уточняет исходные условия, не обращает внимания на детали и действует сообразно своему понимаю теста. Которое, как мы видим, оказывается неверным.
Когда будете проводить тест, не называйте никак остановки, это облегчает последующий подсчет, а также портит тест. Количество остановок должно быть довольно большим (более 10), а также вам стоит считать, чтобы не ошибиться с количество тех, кто вышел и зашел.
Другой вариант теста, стал уже классикой жанра, это горилла на баскетбольном поле. Испытуемых просят посчитать сколько пассов мяча делают игроки, в середине игры сквозь играющих проходит человек в костюме гориллы. Примерно половина тех, кто считал пасы, просто не замечает его. Они сосредоточились на другой задаче. И это особенность нашей психологии. Ниже пример видео из классического исследования.
В качестве вывода могу сказать следующее, очень важно правильно и тщательно оценить исходные условия. Что делать, а главное зачем. И уже потом действовать, но тут мы переходим к оценки вероятностей или пункту №2.
Проблема №2. Как сделать правильный выбор
У вас куча предложений о заключении новых договоров, вы не способны принять каждое из них. Какие-то выглядят интереснее, какие-то не так хороши. Встает в полный рост ситуация выбора в которой большинство из нас полагается на интуицию, но не здравый смысл и расчет. Вспомнить ситуации выбора из рабочих будней для каждого из нас не составит труда. Но как мы выбираем? Я полагаюсь в таких ситуациях на теорию вероятностей, которая и помогает принять окончательное решение. К сожалению, во многих высших учебных заведениях не преподают теорию вероятностей, либо делают это настолько плохо, что отбивают всякую охоту знать этот предмет. Однако теория вероятностей работает и помогает принимать решения. Позвольте заинтересовать вас этой теорией и побудить прочитать больше, только одним примером, который стал классическим.
Задача Монти Холла
В телевикторине участники должны выбрать одну из трех дверей. За одной дверью находится машина, за двумя другими нет ничего. Участник, выбирает дверь, а ведущий, которому известно, что находится за каждой из дверей, открывает одну из оставшихся, конечно пустышку. Затем он говорит участнику, — «Вы смените дверь или выберете другую?». Вопрос, который мы рассмотрим в том, выгодно ли участнику сменить дверь или выгодно оставить свой выбор.
Прежде, чем идти дальше, пожалуйста, подумайте и ответьте на этот вопрос. Оставляете дверь или меняете?
В 1990 году этот вопрос разделил Америку на два лагеря. С одной стороны была Мэрилин вос Савант, вошедшая в «книгу рекордов Гиннесса»как человек с самым высоким уровнем интеллекта равным 228. С другой стороны математики и читатели воскресной газеты, в которой Мэрилин высказала свою точку зрения на вопрос, менять или нет, дверь. Она получила несколько десятков тысяч отзывов, из которых более сотни были написаны дипломированными математиками, докторами наук. 92 процента написавших считали, что Мэрилин ошибается. Сделали свой выбор? Честно запишите его на бумажке, а потом поделитесь в комментариях, что вы выбрали. Заранее спасибо, за вашу честность.
Негодование большинства вызвала стратегия предложенная Мэрилин. Она предложила сменить дверь. Не оставить, а именно сменить, так как это повышает шансы на выигрыш.
Ответ на задачу Монти Холла
В задаче Монти Холла фигурирует три двери: за одной нечто ценное, скажем гоночная машина, за двумя другими — нечто гораздо менее интересное, например, русско-русский разговорник. Вы выбрали дверь №1. В таком случае пространство элементарных событий представлено следующими тремя возможными исходами:
Машина за дверью №1
Машина за дверью №2
Машина за дверью №3
Вероятность каждого исхода — 1 из 3. Поскольку предполагается, что большинство выберет машину, то первый исход будем считать выигрышным, а шансы угадать равны 1 из 3.
Далее по сценарию, ведущий, заведомо знающий, что находится за каждой из дверей, открывает одну дверь из не выбранных вами, и оказывается, что там лежит разговорник. Поскольку, открывая эту дверь ведущий использовал свое знание о предметах за дверями, чтобы не раскрыть местоположение машины, данный процесс нельзя назвать случайным в полном смысле этого слова. Существуют два варианта, которые стоит обдумать.
Первый — вы изначально делаете правильный выбор. Назовем такой случай «счастливой догадкой». Ведущий наугад откроет либо дверь 2, либо дверь 3, и если вы предпочтете сменить свою дверь, вместо шикарной, с ветерком поездки станете владельцем разговорника. В случае «счастливой догадки» лучше, конечно, не соблазняться предложением сменить дверь, однако вероятность выпадения «счастливой догадки» равна всего 1 из 3.
Второй — вы сразу же указываете не на ту дверь. Назовем такой случай «ошибочной догадкой». Шансы, что вы не угадаете, равны 2 из 3, так что «ошибочная догадка» в два раза вероятнее, чем «счастливая догадка». Как «ошибочная догадка» отличается от «счастливой догадки»? При «ошибочной догадке» машина находится за одной из тех дверей, которые вы обошли своим вниманием, а за другой — книжка. В противоположность «счастливой догадке» в этом варианте ведущий открывает невыбранную дверь не наугад. Поскольку он не собирается открывать дверь с машиной, он именно что выбирает ту самую дверь, за которой машины нет. Другими словами, в «ошибочной догадке» ведущий вмешивается в то, что до той поры называлось случайным процессом. Таким образом, процесс уже не может считаться случайным: ведущий пользуется своими знаниями, чтобы повлиять на результат, и тем самым отрицает само понятие случайности, гарантируя, что при смене двери участник получит авто. Из-за подобного вмешательства происходит следующее: вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки», и, следовательно, выигрываете
при смене двери и проигрываете, если отказываетесь сменить ее.
В итоге получается: если вы оказываетесь в ситуации «счастливой догадки» (вероятность которой 1 из 3), вы выигрываете при условии, если остаетесь при своем выборе. Если вы оказываетесь в ситуации «ошибочной догадки» (вероятность 2 из 3), то под влиянием действий ведущего вы выигрываете при условии, если меняете первоначальный выбор. Итак, ваше решение, сводится к догадке, в какой ситуации вы окажетесь? Если вы чувствуете, что вашим изначальным выбором руководит шестое чувство, что вас направляет сама судьба, может, и не стоит менять свое решение. Но если вам не дано завязывать ложки узелками только силой мысли, то наверняка шансы того, что вы попали в ситуацию «ошибочной догадки», равны 2 к 1, так что лучше сменить дверь.
Статистика телепередачи подтверждает, что те, кто менял свой выбор, выигрывали в два раза чаще. Вуаля.
Надеюсь, что этот пример заставит вас задуматься, как быстро взять в руки книгу о теории вероятностей, а также начать ее применять в своей работе. Поверьте, это интересно и увлекательно, да и практический толк есть. Надеюсь пятничные размышления о психологии, предпосылках задач и теории вероятностей, не заставили вас скучать.
Теории вероятностей и ее применение в реальной жизни
В данной работе рассматриваются элементы теории вероятностей и ее применение в реальной жизни. Кратко рассказывается об истории возникновения данной теории. Автор исследует и классифицирует события: случайные и неслучайные, достоверные и невозможные, совместные, несовместные и противоположные, возможные и невозможные. В работе представлены формулировки и основные понятия теории вероятностей: операция над событиями, математическое ожидание, независимые опыты, сложный опыт, закон больших чисел, схема Бернулли. Дано классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности, показан основной принцип комбинаторики и его приложения.
Применение теории вероятностей является важной частью работы. Даются примеры задач, в которых используются основные понятия этой теории. В приложении выделены 8 типов основных задач, в которых могут применяться исследуемые понятия.
Методы исследования: анализ учебной и дополнительной литературы, собственный анализ, решение задач и проведение практических опытов.
В данной работе рассматриваются основы теории вероятностей. Эта тема выбрана, потому что с помощью основ теории вероятностей я смогу находить решения простейших задач о случайных событиях.
Цель данной работы разобраться в сущности теории вероятностей и понять, в каких областях она может применяться.
Чтобы достичь данной цели необходимо изучить основные понятия и формулы теории вероятностей, решить с ее помощью математические задачи, узнать, как можно ее применять в реальной жизни.
Исторические сведения
Как наука, теория вероятностей зародилась в середине XVII века, в романтическое время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных рыцарей. Вероятностные закономерности были впервые обнаружены в азартных играх, таких как карты и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. А зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мерэ (1607-1648г. г. ), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662г. г. ) с вопросами к задаче об очках. (см. главы «Формулировки и основные понятия», «Примеры и решения практических задач на вероятность»). Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665г. г. ) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые основные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.
Другим толчком для развития теории вероятностей послужило страховое дело, а именно с конца XVII века на научной основе стало производится страхование от несчастных случаев и стихийных бедствий. В XVI-XVII веках во всех странах Западной Европы получило распространение страхование судов и страхование от пожаров. В XVII веке были созданы многочисленные страховые компании и лотереи в Италии, Фландрии, Нидерландах. Затем методы теории вероятностей стали широко применять в демографии, например, при ведении статистики рождения и смерти.
Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695г. г. ). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы. Также теория вероятностей связана с именами известных математиков: швейцарца Якоба Бернулли (1654-1705г. г. ), француза П. С. Лапласа, англичанина А. Муавра (1667-1754г. г. ) и др. Вклад в развитие теории вероятностей внесли русские и советские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М Ляпунов и многие другие.
Классификация событий
Событие – это исход наблюдения или эксперимента.
Случайные и неслучайные события
События бывают двух видов – случайные и неслучайные. Случайным событием называется то событие, которое может, как произойти, так и не произойти. Неслучайное событие – это то событие, которое может либо произойти обязательно, либо в данных условиях не происходящее. Неслучайные события делятся на две группы.
Случайные события делятся больше чем на две группы. О видах случайных и неслучайных событий ниже.
Достоверные и невозможные события
Неслучайные события делятся на две группы – достоверные события и невозможные события. Достоверным событием называют то событие, которое обязательно произойдет. Такое событие обозначается буквой E. Невозможным событием называют то событие, которое в данных условиях произойти не может. Такое событие обозначается буквой U. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Например, если из урны только с черными шарами вытащить шар, то достоверным событием будет то, что вытащенный шар окажется, черным. А невозможным событием будет то, что вытащенный шар окажется белым.
Совместные, несовместные и противоположные события
Случайные события тоже делятся на несколько групп. В этом подпункте поговорим о совместных, несовместных и противоположных событиях. Совместным событием называются два события, которые могут произойти в результате опыта одновременно. К примеру, при бросании игральной кости события «2» и «четное число» являются совместными событиями. Несовместным событием называют два события, которые не могут произойти одновременно в результате опыта. Допустим, при однократном бросании монеты события A и B, то есть одновременное выпадение орла и решки монеты, являются несовместными. Противоположными событиями называют те два события, которые противоположны друг другу. Например, события «Я сорву розы» и « Я не буду срывать розы» являются противоположными. Следовательно, с каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.
Независимые и зависимые события
Формулировки и основные понятия
Операции над событиями
Поскольку случайное событие есть некоторое подмножество элементарных событий, то операции над событиями сводятся к операциям над множествами. В результате каждой операции поучают новое событие.
Суммой (объединением) двух событий A и B называется третье событие C, оно заключается в том, что произойдет хотя бы одно из них, то есть произойдет: 1)или только А 2)или только В 3)или оба вместе. Обозначение суммы: А + В = С или АUB = C.
Смысл суммы: событие А + В состоит из всех элементарных событий, принадлежащих событию А или В.
Произведением (пересечением) двух событий А и В называется третье событие С состоящее в совместном наступлении событий А и В. Обозначение произведения событий: АВ = С, А · В = С или А∩В = C. Смысл произведения заключается в том, что событие АВ состоит из элементарных событий, принадлежащих одновременно событию А и В.
Основные теоремы теории вероятностей
К числу основных теорем теории вероятностей относится теорема сложения и теорема умножения вероятностей.
Теорема сложения вероятностей: Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ).
В качестве примера можно привести вычисление вероятности выпадения хотя бы одного герба при бросании двух монет: Р(Г1 + Г2) = Р(Г1) + Р(Г2) – Р(Г1Г2) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75.
Для понимания теоремы умножения вероятностей требуется усвоить понятие условной вероятности события А при условии, что событие В произошло: Р(А׀В).
Рассмотрим пример: пусть в урне находятся три черных и четыре белых шара. Вероятность извлечения белого шара Р(А)=4/7. Вероятность извлечения белого шара при условии, что до этого был извлечен черный шар и не возвращен в урну: Р(Б׀Ч) = 4/6 = 2/3. Вероятность извлечения белого шара при условии, что до этого был извлечен белый шар и не возвращен в урну: Р(Б׀Б) = 3/6 = ½. Видно, что вероятность извлечения белого шара(событие Б) зависит от условия которое предшествовало испытанию.
Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения (совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Р(АВ) = Р(А) · Р(В׀А) = Р(В) · Р(А׀В).
Например, в урне находятся три белых и семь черных шаров. Последовательно вынимают два шара( без возвращения). Найти вероятность того, что оба окажутся белыми. Вычисление этой вероятности основано на теореме умножения вероятностей: Р(Б1Б2) = Р(Б1) · Р(Б2׀Б1) = 3/10 · 2/9 = 1/15.
Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: Р(А+В) = Р(А) +Р(А).
Теорема сложения вероятностей для противоположных событий: Р(А+Ā) =Р(А) + Р(Ā) = 1
Теорема умножения вероятностей для независимых событий: Р(АВ) = Р(А) · Р(В)
Теорема умножения вероятностей для противоположных событий: Р(АĀ) = 0 ( Ā- противоположное событие)
Математическое ожидание
Математическим ожиданием случайной величины x называют число, обозначаемое M(x), равное сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих m значений т. е. M(x) = ∑ xi pi Если значения случайной величины x имеет одну и ту же i=1 m m вероятность р то M(x) = ∑ xi 1/m = 1/m ∑x1 i=1 i=1 т. е. в этом случае математическое ожидание случайной величины x равно среднему арифметическому ее значений. Говорят, что математическое ожидание случайной величины есть среднее взвешенное (вероятностями) ее значений. Математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины. Говорят и так: математическое ожидание случайной величины есть ее значение в среднем.
M(x) = 1/6 · 1 + 1/6 · 2 + + 1/6 · 6 = 1/6 (1+2++6) = 3,5 т. е. при любом бросании игральной кости в среднем выпадет 3,5 очка. Следовательно, искомое математическое ожидание равно 3,5.
Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из трех областей. Попадание в первую область дает стрелку 3 очка, во вторую – 2 очка, в третью – 1 очко, непопадание в мишень – 0 очков. Законы распределения вероятности числа выбитых очков для каждого из стрелков заданы таблицами 1 и 2, где x – число очков, выбитых первым стрелком, y – вторым. Определим, какой стрелок в среднем лучше стреляет по этой мишени.
Сравним искусство стрельбы стрелков по данной мишени по числу очков, выбиваемых в среднем каждым стрелком, т. е. сравним математические ожидания: M(x) = 3 · 0,5 + 2 · 0,1 + 1 · 0,2 + 0 · 0,2 = 1,9 и M(y) = 3 · 0,3 + 2 · 0,55 + 1 · 0,1 + 0 · 0, 05 = 2,1. Второй стрелок в среднем выбивает больше очков, т. е. второй стрелок стреляет в среднем лучше.
Сложный опыт
Пример: задача де Мерэ. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости 4 раза хотя бы один раз выпадет 6 очков? Вероятность того, что при четырехкратном бросании игральной кости 6 очков не выпадет ни разу, равна (5/6) 4. Пусть в сложном опыте – четырехкратном бросании игральной кости- событие А заключено в том, что 6 очков не выпадет ни разу, а событие В – 6 очков выпадает хотя бы один раз. События а и в несовместные, их сумма (объединение) – достоверное событие, поэтому В=Ā и Р(В)=Р(Ā)=1-Р(А). Отсюда следует, что вероятность того, что при четырехкратном бросании игральной кости 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна 1-(5/6) 4 ≈ 0,518.
Схема Бернулли. Два свойства чисел Рn(k). Закон больших чисел
В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли (при больших n вычисления по этой схеме технически трудны). Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же в каждом опыте вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-p. Вероятность того что при этом событие А появится ровно m раз, а событие Ā(не А) n-m раз вычисляется по формуле: Pn (m) = Cnmpm q n-m
Пример
Пусть всхожесть семян некоторого растения равна 90%. Найдем вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут три.
В данном примере р=0,9, q=1-p=0,1, n=5, k=3. Тогда P5 (3) = C53 · 0,93 · 0,12 ≈ 0,0729 т. е. вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут 3, приближенно равна 7%. Очевидно, что n
∑ Pn (k) = 1, (2) k=0 потому что события Аk несовместимы и их сумма есть достоверное событие. Равенство (2) следует также из формулы бинома Ньютона: n n
∑ Pn (k)= ∑ Cnkpk q n-k = (p+q) n=1 n=1 k=0 k=0
Равенство(2) выражает первое свойство чисел Pn(k): для любого натурального n сумма всех чисел Pn(k) равна 1.
Мы видим что числа P10(k) c возрастанием k от 0 до m=np=10·1/5=2 возрастают, а для k>m убывают. Последовательность чисел Р10(k) можно было бы продолжить для k= 6,7,8,9,10. Но это не сделано потому, что соответствующие этим k числа Р10(k) очень малы, т. е. близки к нулю. Здесь существенно то, что большие из чисел Р10(k) группируются около числа Р10(m), где m=np=2.
Сформулируем теперь второе свойство чисел Pn(k). Существует натуральное число m, приближенно равное np (m≈np с точностью до 1), такое, что при возрастании k от 0 до m( иногда и при k=m+1)достигают максимума, а при дальнейшем возрастании k убывают. При этом большие числа Pn(k) группируются около максимального значения Pn(m). В примере 2, вычисляя значения Pn(k), можно показать, что дробь k/n(относительная чистота появления события А) для k, близких к m,отличается от р. Действительно в примере 2 сумма P10(1) + P10(2)+ P10(3) есть, очевидно, вероятность того, что при рассматриваемом нами десятикратном повторении опыта событие А произойдет либо 1, либо 2, либо 3 раза. Это записывают так: Р(1≤k≤3= P10(1) + P10(2)+ P10(3). Поскольку неравенство 1≤k≤3 можно записать так: k-2≤1 или так: k/10-1/5≤0,1 – и поскольку P10(1) + P10(2)+ P10(3)≈0,7717, то пишут Р< k/10-1/5≤0,1>≈0,7717. Это приближенное равенство означает, что при десятикратном повторении опыта, в котором вероятность наступления события А равна 1/5, вероятность того, что относительная чистота k/10 повторения события А отличается от вероятности события А на величину, не большую чем 0,1, приближенно равна 0,7717, что достаточно близко к 1. Этот пример подтверждает так называемый закон больших чисел. Пусть в опыте вероятность появления некоторого события А равна р. Тогда при многократном повторении опыта(считая эти опыты независимыми) близка к 1 вероятность того. Что относительная частота появления события А мало отличается от р. Этот закон можно сформулировать более точно. Закон больших чисел. (теорема Бернулли). Для любых сколь угодно малых положительных чисел ε и δ можно указать достаточно большое натуральное число n, такое, что при n-кратном повторении опыта относительная частота m/n события А, имеющего вероятность р, отклоняется от р с вероятностью, большей чем 1-δ: Р< m/n-p 1- δ.
Определение вероятности событий
Классическое и статистическое определение вероятности
Классическое определение вероятности события исторически появилось первым. Пусть Ω=<ωi>, i=1,2,,n, где ωi – равновозможное элементарные события, n – число этих событий. Очевидно, что вероятности равновозможных событий p1=p2== pn=1/n. Пусть событие А есть некоторое подмножество множества Ω:А= <ωk>, где ωk – элементарное событие, благоприятствующее событию А. Пусть m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А. Вероятностью события А называется число, равное отношению m/n, или P(A)=m/n. Известно также статистическое определение вероятности события. Практика показывает, что массовые, случайные явления обладают свойством устойчивости частоты их появления – отношения числа появлений случайного события к числу испытаний. Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадает герб, а в 50% цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний. Этот простой эксперимент может служить моделью для решения других задач. Устойчивость частоты случайного события – это объективное свойство массовых, случайных событий реального мира. Отсутствие устойчивости частоты в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия испытаний изменяются. Вероятность события представляет собой число, к которому стремится его частота при неограниченном увеличении его испытаний.
Геометрическое определение вероятности
Для начала обозначим, какой фигурой будет Е. За Е мы обозначаем пространство испытания или события. Пусть это будет круг с треугольником внутри него. В круг наудачу «бросается точка». Как определить вероятность события А, состоящего в том, что точка попадает в треугольник? При подходе к решению этой задачи будем руководствоваться тем, что вероятность попасть в какую- либо часть круга пропорциональна площади этой части. Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности: где k- число испытаний. Однако m/n в данной ситуации не обязано быть рациональным числом, хотя формально результат записывается так же, как в классической формуле. Но здесь смысл иной. Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство Е и подпространство, представляющее событие А были бы одинакового вида и одинаковых измерений. Геометрический вариант изображения вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности рассматривает общую вероятность нескольких событий, а именно пересечений данных событий с другим (и) событием(ями). Если требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий В1, В2,Вn. Если А произошло вместе с одним из событий В1, В2,Вn, значит произошло одно из несовместных событий. Таким образом событие А представляет собой одно из событий:. А это означает, что
Поскольку события В1,В2. Вn взаимно несовместны, то и события обладают тем же свойством. Поэтому Р(А)=Р()+Р() ++Р(). С помощью теоремы умножения вероятностей получаем:
Поэтому Р(А)=Р(АВ1)·Р(В1)+Р(АВ2)·Р(В2)++Р(АВn)·P(B1). Данное равенство носит название формулы полной вероятности. Также формулу полной вероятности можно записать так: n
Комбинаторика и вероятность
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.
Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа равновозможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях.
В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о выборках. Поэтому мы будем придерживаться термина «выборка».
Основной принцип комбинаторики
Основной принцип комбинаторики гласит: если что-либо одно можно осуществить m способами, а нечто другое – n способами, то эти действия последовательно можно осуществить m×n способами.
Обычно торшеры выпускаются с одной большой лампой, которая может работать в трех режимах или быть выключенной, и тремя лампами поменьше, которые можно включать по 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у торшера всего 4×4 = 16 рабочих режимов (в одном из них все лампы выключены), поэтому правильнее было бы говорить, что торшер можно включать 15-ю различными способами, а не 16-ю, как иногда пишут в рекламных объявлениях.
Многие задачи теории вероятностей удается проанализировать, если воспользоваться некоторыми следствиями из приведенного выше комбинаторного принципа. Размещение предметов в определенном порядке называется перестановкой этих предметов. Например, существуют шесть перестановок чисел 1, 2, 3, а именно: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1. Число перестановок из n предметов равно 1×2×3× ×n. Сокращенно это число записывается как n! (и читается как «факториал числа n» или «n факториал»).
Если из двенадцати человек нужно выбрать комитет в составе девяти членов, то это можно сделать столькими способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить. Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Любая из 9! перестановок девяти членов комитета приводит к одному и тому же составу комитета, так как состав комитета не зависит от того, в каком порядке перечислять его членов. Иначе говоря, число перестановок 12×11×10×9×8×7×6×5×4 дает ответ, который в 9! раз больше, чем нужно. Следовательно, число сочетаний из двенадцати человек по девять равно указанному произведению, деленному на 9!, или
В общем случае число сочетаний из n по r равно n (n – 1)(n – 2) (n – r + 1)/r! или n!/r!(n – r)! Это число называется биномиальным коэффициентом (см. также Еще один полезный принцип состоит в утверждении, что n предметов можно разложить в r коробок rn различными способами, если в любой коробке может находиться любое число предметов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что первый предмет можно положить в любую из r коробок, после чего второй предмет также можно положить в любую из r коробок и т. д. Таким образом, n предметов можно разложить способами.
Применение теории вероятностей
Многие задачи науки, техники и повседневной жизни можно решать двумя путями: полагаться на свой рассудок и здравый смысл, или на строгой математической основе. Модели, основанные на теории вероятностей, позволяют обоснованно анализировать и прогнозировать изучаемые события, явления, процессы. При этом разнообразные события подчиняются одним и тем же вероятностным закономерностям. Поэтому теория вероятностей применяется во всех современных естественных науках. На основе теории вероятностей построены научные теории статистической физики, квантовой механики, теории эволюции, генетики, теории информации, исследования операций и др. На языке теории вероятностей формулируются существенные, объективные связи, изучаемые в научных теориях.
От теории вероятностей отпочковались и оформились в самостоятельные научные дисциплины:
1) теория информации, предметом которой являются закономерности, связанные с получением, передачей, хранением и преобразованием информации; в этой теории случайным событием является сообщение – совокупность знаков, содержащих определенную информацию;
2) теория массового обслуживания, изучающая закономерности систем для удовлетворения массового спроса в отдельном виде потребностей; основным понятием является требование (вызов, заявка и др. ) – случайное событие, наступление которого вызывает необходимость в его обслуживании, например вызов скорой помощи требует выезда к больному;
Следует отметить, что методы теории вероятностей не противопоставляют себя методам, основанным на применении аппарата математического анализа, а дополняют эти методы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, в теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. Теория вероятностей предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как и математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать следующее определение теории вероятностей: теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий и других случайных явлений.
Данная статья помогает разобраться в сущности теории вероятностей, научиться решать с помощью нее математические задачи, понять в каких областях она может применяться.