Все что нужно знать по математике в 9 классе
Необходимый теоретический материал для успешной сдачи ОГЭ-9 по математике для учеников разной подготовленности
Класс: 9
1. Углы
Вертикальные углы равны (на рис. 1 и 3; 6 и 8 и др.).
Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 4 и 6; 1 и 7).
Сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна 180˚ (на рис. 4 и 7; 1 и 6).
Соответственные углы при параллельных прямых и секущей равны. (на рис. 3 и 7; 1 и 5 и др.).
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то и другая перпендикулярна третьей прямой.
2. Медиана, биссектриса, высота
Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне и делящий угол треугольника пополам.
Высота треугольника – перпендикуляр опущенный из вершины угла на противоположную сторону.
Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.
В любом треугольники все биссектрисы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке, все медианы пересекаются в одной точке.
3. Треугольник
Сумма углов в любом треугольнике 180˚.
Средняя линия треугольника – прямая проходящая через середины двух сторон. Средняя линия параллельна одной из сторон и равна половине этой стороны.
Виды треугольников: тупоугольный (один угол тупой), прямоугольный (один угол прямой 90˚), остроугольный (все углы острые, меньше 90˚).
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого равны две стороны.
Свойства равнобедренного треугольника:
Равносторонний треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. (все углы по 60 градусов)
Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным, но не всякий равнобедренный — равносторонним.
Три признака равенства треугольников
I признак по двум сторонам и углу между ними
II признак (по стороне и прилежащим углам)
III признак (по трем сторонам)
Признаки подобия треугольников
I признак по двум равным углам
II признак по двум пропорциональным сторонам и углу между ними
III признак по трем пропорциональным сторонам
Площади подобных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате.
Объемы подобных фигур относятся как коэффициент подобия в кубе.
Треугольник называется прямоугольным, если один из его углов прямой.
Стороны, прилежащие к прямому углу называются катетами, а сторона, лежащая против прямого угла, – гипотенузой. (самая большая сторона это гипотенуза, две др катеты).
Свойства прямоугольного треугольника
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
Катет, лежащий против угла в 30˚, равен половине гипотенузы.
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы.
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, является радиусом описанной около этого треугольника окружности.
Теорема Пифагора:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: a² + b² = c².
Пифагоровы тройки:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
Признаки подобия прямоугольных треугольников:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
Высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Каждый из этих треугольников подобен исходному.
Высота прямоугольного треугольника: h=ab/c или h =
(где АВ гипотенуза, СЕ высота опущенная на гипотенузу).
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы: m=c/2 (R=с/2=mc).
3. Четырехугольники
Сумма углов в любом четырехугольнике 360˚.
Параллелограмм
Параллелограммом называется четырёхугольник, противолежащие стороны которого попарно параллельны.
У параллелограмма противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.
Сумма любых двух соседних углов параллелограмма равна 180°.
Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника.
Две диагонали параллелограмма делят его на четыре равновеликих треугольника.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся на четыре равных отрезка.
Квадрат.
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Диагонали квадрата равны и перпендикулярны.
Сторона и диагональ квадрата связаны соотношениями: 
.
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник у которого только две противолежащие стороны параллельны.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции, непараллельные – боковыми сторонами.
Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.
Равнобокой называется трапеция, у которой боковые стороны равны.
У равнобокой трапеции: диагонали равны; углы при основании равны; сумма противолежащих углов равна 180.
Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: d² = ab+c².
Трапеция называется прямоугольной, если одна из её боковых сторон перпендикулярна основаниям.
4. Окружность
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности называется радиусом (r) окружности.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром окружности.
Прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, называется касательной. Касательная и радиус проведенный в точку касания пересекаются под прямым углом.
Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.
Центральный угол окружности – это угол, вершина которого лежит в центре окружности. Центральный угол равен дуге на которую он опирается.
Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее. Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90˚.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны.
Теорема косинусов:
Теорема синусов:
5. Формулы площадей
Как подготовиться к ОГЭ по математике в 2021: план и материалы для подготовки
ОГЭ по математике – обязательное испытание для всех девятиклассников. Каждому по силам с ним справиться. Только от вашей личной мотивации зависит результат. Поэтому, чем больше вы трудитесь, тем на более высокий балл можете претендовать.
Прежде всего изучите все составляющие экзамена. С их помощью вам будет легче подготовиться к ОГЭ по математике и получить хороший результат. Давайте приступим к изучению!
Содержание
Структура экзамена
Экзамен состоит из двух частей. В первой вы можете получить максимум 20 баллов, во второй – 12, так как за каждый верный ответ начисляется по 2.
Первая часть экзамена требует краткого ответа. Она включает в себя 3 модуля: план участка (хозяйственная задача), раздел алгебры и геометрии. Вторая часть экзамена направлена на получение подробного решения. Даже с неправильным ответом, у вас есть возможность получить балл за ход решения. Это очень важно.
Значительно в 2021 году претерпела изменения вторая часть КИМ. В 2021 году задания кажутся немного сложнее в сравнении с прошлыми годами. Поэтому, начинать подготовку к ОГЭ по математике нужно как можно раньше.
Длительность экзамена – 235 минут. Необходимо верно распределить время для решения всего варианта.
Оценивание заданий ОГЭ по математике
Верно выполнив все задания, ученик может получить тридцать два первичных балла. Это отличный результат. Стоит к нему стремиться!
Каждое задание первой части оценивается в 1 балл, а во второй в 2. Здесь всё очень просто.
Результаты ОГЭ оказывают определенное влияние на итоговую оценку в аттестате. Для его получения мало просто набрать 8 первичных баллов – необходимо чтобы минимум 2 из них были за задания из блока «геометрия»: задания 16-20, 24-26. Стоит внимательно готовиться к ОГЭ по математике.
Таким образом, для получения аттестата необходимо набрать 8 баллов, учитывая то, что нужно выполнить не менее пяти заданий из первой части и не менее трех из геометрии. Максимум равняется 32.
Для получения баллов за вторую часть, нужно верно записать ход задачи с пояснением так, чтобы проверяющий понял ваши мысли, вывести верный ответ.
Каждый ученик хочет получить максимальный результат. Как подготовиться к ОГЭ по математике, чтобы его достичь? Всё достаточно просто, стоит только захотеть.
С чего начать подготовку
Секрет успешной сдачи ОГЭ по математике – хорошее знание теоретических основ и богатый практический опыт. Как готовиться к ОГЭ по математике самостоятельно?
Большую роль играет личная мотивация. Ребята, которые систематически уделяют время для подготовки, справляются намного лучше.
Потренируйтесь заполнять бланки, чтобы не терять на экзамене время. Важно усердно готовиться к ОГЭ по математике. При этом уделять время оформлению бланков и заданий.
Выстройте регулярный график подготовки, где вы пропишите темы из кодификатора с учетом на весь период. Периодически материал необходимо возобновлять в памяти, а также закреплять его на практике.
Для достижения желаемого количества баллов нужно составить план подготовки к ОГЭ по математике.
План подготовки
ОГЭ по математике является достаточно трудным экзаменом. Если в 11 классе ученикам можно выбрать определенный уровень, то в 9 классе такого выбора не предоставляется, все проходят испытание в равных условиях. Вот несколько советов для подготовки от нас:
Обзаведитесь онлайн-тренажером для устного счета. Освободилась минутка – уделите время подготовке.
Порешайте как можно больше задач на логику. Так вы научитесь воспринимать условия текстовых задач и последовательно мыслить.
Обязательно выучите все необходимые формулы и уделите особое внимание действиям с дробями.
Система подготовки к экзамену
Как же готовиться к ОГЭ по математике, если совсем ничего не учили до этого?
1. Практика — важная часть подготовки к любому экзамену!
Советуем решать задания именно по темам, а не в разброс.
2. Ознакомьтесь с бланками заранее
Отработайте навык заполнения бланков до экзамена, чтобы никаких проблем непосредственно на нем не возникало.
3. Составьте алгоритм решения заданий
Нужно продумать порядок выполнения заданий. Учитывая его, вы поймете, как готовиться к ОГЭ по математике. Универсального рецепта нет: один быстро утомляется, другой — нервничает, если не закрыл самые простые задачки.
4. Уделяйте подготовке по максимуму, ведь готовиться к ОГЭ по математике совсем непросто
Для получения аттестата достаточно набрать 15 баллов. Зная о дальнейшей необходимости математики при поступлении в высшее учебное заведение, старайтесь уделять особое внимание всем заданиям. Именно это послужит хорошей основой в 11 классе.
5. Не торопитесь и внимательно читайте условия заданий.
6. Если есть дополнительный метод решения определенного задания, то лучше им перепроверить.
7. Когда решаете геометрические задачи, делайте рисунок.
Сейчас мы поделимся с вами, как последовательно готовиться к ОГЭ по математике.
Темы для подготовки к ОГЭ по математике
Все задания в КИМ собраны по программе алгебры и геометрии за 7-9 класс.
Как эффективнее готовиться к ОГЭ по математике, на какие темы сделать упор?
Самое главное больше читайте и отрабатывайте полученные знания на практике. Мотивируйте себя. Изучайте каждый день что-то новое и повторяйте пройденное. Как готовиться к ОГЭ по математике интересно? Нужно организовать свою подготовку должным образом. Исключите все отвлекающие вас факторы, устанавливайте ограничения на социальные сети в своём телефоне. Хорошие знания материала обеспечат вам уверенность и вы легче справитесь с волнением.
Желаем вам успешной подготовки! Мы в вас верим.
Методика подготовки в ОГЭ по математике
Методички Педсовета
В данной публикации можно найти советы практикующего учителя математики по подготовке обучающихся 9 класса к успешной сдаче ОГЭ по математике.
Для успешной сдачи экзаменов девятиклассникам необходима определённая система подготовки.
При подготовке учащихся к ОГЭ учителю необходимо:
Предлагается несколько интересных, приёмов.
Обязательные устные упражнения и правила быстрого счёта
Так как на экзамене не разрешается использовать калькулятор, то нужно научить учащихся выполнять простейшие (и не очень) преобразования устно. Конечно, для этого потребуется организовать отработку такого навыка до автоматизма.
Для достижения правильности и беглости устных вычислений необходимо в течение всех лет обучения на каждом уроке отводить 5-7 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса.
Устные упражнения должны соответствовать теме и цели урока и помогать усвоению изучаемого на данном уроке или ранее пройденного материала. Сокращается время на выполнение таких операций, как решение квадратных уравнений, линейных неравенств и неравенств 2-й степени, разложение на множители, преобразования иррациональных выражений и другие. Эти операции переходят из разряда самостоятельной задачи в разряд вспомогательной и становятся инструментом («таблицей умножения») для решения более сложных задач.
Помогает в организации устных вычислений книга под редакцией Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С. Ю. «Устные вычисления и быстрый счёт. Тренировочные упражнения за курс 7-11 классов» (Ростов-на-Дону: ЛЕГИОН-М.- 2010).
Важны также и приёмы быстрого счёта, такие как:
Возможно воспользоваться пособиями:
Метод проектов для составления справочников.
Высокая степень самостоятельности и активности учащихся.
Перенос акцента в обучении с преподавания на учение.
С ростом уровня сложности деятельности учеников растет и уровень творчества и качества выполняемых работ.
Решая сложные задания, для которых нет определенного алгоритма, учащийся формирует собственную самостоятельность и готовность решать сложные проблемы в реальной жизни.
Важным в проектной деятельности, направленной на подготовку к ОГЭ является умение выполнять задания большого объема, требующие терпения и внимания.
Формируются такие качества, как ответственность, добросовестность, умение доводить начатое дело до конца, защищать и отстаивать собственное мнение. Эти качества всегда вызывали уважение и ценились в обществе.
Примером может быть проект по составлению справочника, объединяющего темы: «Квадратные уравнения», «Теорема Виета», «Квадратные неравенства», «Квадратичная функция».
При составлении справочников рекомендуется обратиться к пособию: Райбул С. В. «Алгебра и геометрия в таблицах и схемах».
Применение групповой работы на уроках математики при подготовке к ОГЭ.
Психологи давно доказали, что люди лучше всего усваивают то, что обсуждают с другими, а лучше всего помнят то, что объясняют другим.
Учащиеся под руководством учителя создают группы по 3- 4 человека.
Алгоритм действий учащихся.
Задания обязательного уровня (1 часть)
Выполнив задания 1 части, сравнивают решения с ответами и между собой.
Делают работу над ошибками.
Получают другой вариант заданий 1 части и выполняют только те задания, в которых были допущены ошибки. Каждая группа получает задание и готовится самостоятельно. При этом учащиеся не знают, кто будет выполнять задание у доски.
Задания 2 части
Представители каждой группы решают задания по порядку, возможно, только те, которые решить смогли.
Остальные учащиеся проверяют задания, задают вопросы, оценивают. Оценку получает вся группа. Каждая группа готовится самостоятельно в течение недели. Проверку осуществляют на элективе.
Задания повышенной сложности
Задания у доски выполняют те учащиеся, которые с ним справились самостоятельно.
Остальные при этом имеют возможность разобраться в затруднениях, встретившихся при выполнении этих заданий.
Если есть несколько учащихся, решивших задание, то проверку можно осуществлять в виде математического боя.
Особое внимание геометрии
Когда в апреле провели пробный экзамен, то обнаружили много работ, в которых практически масса неудовлетворительных отметок именно по геометрии. Желательно готовить справочники по темам «Треугольники», «Четырёхугольники», «Окружность». Затем выполнить набор задач разного типа сложности по этим темам (брать задания из открытого банка)
Например, по теме «Окружность» рассматривают вопросы:
По теме «Треугольники» рассматривают вопросы:
По теме «Четырёхугольники» рассматривают вопросы:
Авторитет учителя
Хороший результат получается, когда учитель инсценирует «тупик» в процессе решения задачи. В этом случае учащиеся должны уметь найти место, с которого пошёл «тупиковый» вариант, чтобы, вернувшись к нему, найти другой вариант решения.
Очень эффективен приём показа учителем мыслительного поиска способа решения задачи. Учитель должен быть готов раскрыть перед учащимися ход своих мыслей, которые у него возникали, когда он готовился к уроку, даже если эти мысли были неверными. Целесообразно развернуть перед учащимися всю картину поиска решения, вплоть до показа своих черновых записей.
По этому разделу рекомендуется учебное пособие: Балаян Э.Н. «Геометрия. Задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7-9 классы». Оно содержит теоретические сведения по геометрии за курс основной школы и упражнения в таблицах по всем темам геометрии 7-9 классов.
Если учитель планирует провести проверочное диагностическое тестирование по какой-то определённой теме (а это разумно), то должен соблюдаться следующий принцип: правильно решенное предыдущее задание готовит понимание смысла следующего. А еще хочется сказать о пробном ОГЭ в апреле, которое проводится по инициативе Управления образования, методического центра. Результаты очень низкие, поскольку знания и умения еще не стали навыками в решении математических задач. Затем начинается негативное сравнение итогов на настоящем ОГЭ и на пробном. Такое сравнение, считаю, не показателем для оценки труда учителя и нечистоплотности выполнения экзаменационных работ. До экзамена 1,5 месяца, именно в этот период, обучающиеся 9 класса стараются закрепить свои умения, настроиться на экзамен. Тем более, что это тот период, когда весь программный материал уже изучен полностью, именно в этот период сполна можно отработать индивидуально те задания, которые вызывают затруднения среди обучающихся.
Переход к комплексному тестированию разумен только в конце года (апрель–май), когда все темы изучены и у учеников накоплен запас общих подходов к основным типам заданий.
Подготовку к ОГЭ в 9 классе начинаем в начале года.
Работа с родителями.
Для обучающихся и их родителей в сентябре проводим совместное родительское собрание, на котором рассказываем об организации и проведении ОГЭ по математике в 9 классе и то, как необходимо к экзамену подготовиться, чтобы получить высокий результат, набрать максимальное количество баллов.
На первом же собрании знакомим родителей с нормативно-правовыми документами, со структурой экзамена, теми изменениями, которые произошли в этом учебном году, с порядком проведения экзамена, системой оценивания.
Родительские собрания проводим 1 раза в четверть. Со многими родителями совместно с детьми зачастую приходится встречаться и работать в индивидуальном порядке.
При подготовке к ОГЭ следует знать специфику класса и уровень знаний по предмету.
Для работы по подготовке к ОГЭ всех учащихся я разделила на 2 группы (можно и на 3), перед каждой поставила свои задачи.
Проведение дополнительных занятий по подготовке к ОГЭ:
На первых занятиях знакомлю учащихся с нормативно-правовыми документами, провожу инструктаж по правилам выполнения Кимов. Знакомлю с содержанием работ, их особенностями. На нескольких занятиях задания выполняем коллективно, с полным объяснением и записью на доске, прорешиваем несколько тестов (1 часть). При этом стараюсь знакомить с тем, как правильно читать задания, несколько раз прочитать вопрос задания. Стараюсь каждого ученика вызвать при этом к доске.
Систематическое включение в устную работу заданий из ОГЭ открытого банка задач части 1.
Включение в изучение текущего учебного материала заданий, соответствующих экзаменационным заданиям. На каждом уроке решаем и разбираем задания не только из учебника, но и задания, соответствующие теме задания из Кимов.
Использование в домашних заданиях материалов КИМов.
На протяжении первого полугодия домашнее задание задаю из открытого банка заданий КИМов: 4- 5 заданий из варианта. Те задания, которые вызвали затруднения, разбираем на доске.
Включение экзаменационных задач в содержание текущего контроля.
В контрольные и тестовые работы включаю задания из открытого банка задач. Обязательно добиваюсь того, чтобы ребята отработали задания, в которых допустили ошибки (иногда работу над ошибками приходиться выполнять по нескольку раз, пока задание не будет решено правильно).
Во время итогового повторения и изучения нового материала, начиная с 5 или 6 класса, ребята заполняли и использовали на уроках и дома тетрадь для правил (у каждой своей тетради), куда записывались основные формулы, правила и т. д. Она помогала при решении заданий, а при систематическом использовании в работе формулы и алгоритмы решений быстрее запоминались.
Проведение тематического повторения в течении года.
В сборниках для подготовки к ОГЭ есть много заданий по определённой теме, например, «Уравнения». Готовясь к уроку, учителю приходится искать задания по этой теме в разных источниках, что занимает много времени. Кроме того, повторять материал темы удобно, когда задания расположены в одном месте. Наиболее оптимальное решение — это тематические тесты.
Для каждого ученика собираю папки с заданиями, в которые постепенно добавляю тематические тесты и демонстрационные варианты, работы пробного экзамена, которые писали ребята.
Повторения теоретического материала на обобщающих уроках с применением компьютерных технологий.
Уроки с применением презентаций зрелищны и эффективны в работе над информацией. Особенно, если это уроки повторения и обобщения материала определённой темы. Презентация обладает наглядностью и выразительностью, это прекрасное дидактическое и мотивационное средство, способствующее лучшему запоминанию учебного материала. При её систематическом использовании увеличивается продуктивность обучения. С помощью презентации можно повысить объём повторяемого материала и выполняемой работы. В работе использую свои презентации и презентации, созданные коллегами и представленные на различных образовательных сайтах в Интернете:
Систематическое повторение учебного материала начинаем с 4 четверти.
Итоговое повторение можно построить исключительно на отработке умений и навыков, требующихся для получения положительной отметки на экзамене.
Примерные экзаменационные работы беру из различных сборников для подготовки к ОГЭ (прошлых лет и новые с геометрическим материалом)
Кроме этого ребята могут проверить свои знания, решая примерные работы в режиме on-lain, а также работы, размещённые на сайте СтатГрада и СдамГИА.
Использование компьютерных презентаций на уроках математики и при подготовке к экзамену открывает огромные возможности:
Особенно эти презентации помогают при итоговом повторении теоретического материала по геометрии.1 часть работы содержит 5геометрических задания. Особенно трудно дается задания типа 13, которые содержат большой теоретический материал. Презентации помогают наглядно увидеть ответы на вопросы.
По данным исследований в памяти человека остаётся ¼ часть услышанного материала, 1/3 часть увиденного, ½ часть увиденного и услышанного, ¾ части материала, если ученик привлечён в активные действия в процессе обучения.
Систематическая работа по заполнению бланков. С заполнением бланков возникает много проблем, поэтому, чем раньше обучающиеся по ним начинают работать, тем меньше вероятность допущения ошибок в оформлении. На дополнительных занятиях разбираем все ошибки, которые были допущены при выполнении диагностических работ. Обращаю внимание на то, что каждая цифра и знак пишутся в отдельной клеточке, на правильность написания цифр, на то, что в ответах не пишут наименования, не ставят знаки %, не получают десятичную или неправильную дробь и т. д. ответы в тетрадях и на доске записываем в клеточках.
Решение большого числа тестов. С конца сентября в классе, на дополнительных занятиях и дома можно раздать для прорешивания большое количество тестов, желательно разные варианты. Ответы затем проверить и те задания, в которых была допущена ошибка, разобрать.
Подготовку решения заданий второй части можно начать со 2 четверти.
Для этого сначала можно использовать дополнительные занятия, на которые пригласить более подготовленных ребят. Можно дать домашнее задания из 2 части.
Конечно, подготовка к урокам, консультациям, проведение дополнительных занятий занимают много времени и сил, но, если правильно организовать свою деятельность и заинтересовать обучающихся в получении положительной оценки, то вся проведенная работа принесёт желаемый результат.
Лёгких путей в науку нет. Но необходимо использовать все возможности для того, чтобы дети учились с интересом, чтобы большинство подростков испытали и осознали притягательные стороны математики, её возможности в совершенствовании умственных способностей, в преодолении трудностей и успешно сдали экзамен.