Все что я говорю ложь я лгу прямо сейчас
Парадокс лжеца
Парадокс лжеца: «То, что я утверждаю сейчас — ложно», или «Я лгу», или «Данное высказывание — ложь».
То есть, если это высказывание истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что данное высказывание — ложь; но если оно — ложь, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что данное высказывание — ложь, и, значит, данное высказывание истинно. И цепочка рассуждений возвращается в начало.
Таким образом, это высказывание противоречит закону исключённого третьего.
Считается, что этот парадокс был сформулирован представителем мегарской школы Евбулидом. Но этот Парадокс иногда называют Парадоксом Эпименида, то есть авторство этого утверждения якобы принадлежит Эпимениду.
Содержание
Разновидности
«Критянин Эпименид утверждал, что все критяне лжецы». То есть, если Эпименид прав, что все критяне лжецы, то он тоже лжец, и его утверждение ложно. Иными словами, если исходить из того, что он прав, выводом будет то, что он не прав. Впрочем, существуют и иные интерпретации такого рода высказываний.
Парадокс этот даётся в Новом Завете у апостола Павла в Тит.1:12-13: Κρήτες ἀεί ψεύσται … и т. д. — «Из них же самих один стихотворец сказал: „Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые“. Свидетельство это справедливо…»
Платон: «Следующее высказывание Сократа будет ложным».
Сократ: «То, что сказал Платон, истинно».
То есть, если предположить, что Платон говорит правду, что Сократ лжёт, то Сократ лжёт, что Платон говорит правду, значит Платон лжёт. Если же Платон лжёт, что Сократ лжёт, то Сократ говорит правду, что Платон прав. И цепочка рассуждений возвращается в начало.
Подробности
Старик постоянно говорил, что всё вокруг — неправда.
Правда, потом оказалось, что он лгал.
Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно истинно и ложно.
Утверждение, составляющее парадокс лжеца, в формальной логике не доказуемо и не опровержимо. Поэтому считается, что данное высказывания вообще не является логическим утверждением.
Попытка разрешить парадокс приводит к обобщениям классической логики: например, тройственной логике, комплексной логике или паранепротиворечивой логике (англ. Paraconsistent logic ).
Близким к парадоксу лжеца высказыванием является теорема Гёделя о неполноте. Согласно Диогену Лаэртскому, стоик Хрисипп посвятил «Лжецу» целый ряд сочинений (Д. Л. VII 196—197).
Интересные факты
См. также
Литература
Примечания
 |
Полезное
Смотреть что такое «Парадокс лжеца» в других словарях:
парадокс лжеца — ПАРАДОКС ЛЖЕЦА в своей древнейшей форме, восходящей к античности, предлагает рассмотреть утверждение человека о том, что он лжец (отсюда название парадокса). С начала 20 в. философы и логики желая абстрагироваться от… … Энциклопедия эпистемологии и философии науки
ЛЖЕЦА ПАРАДОКС — один из наиболее известных логических парадоксов. В простейшем его варианте человек произносит одну фразу: «Я лгу». Или: «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, значит, сказанное им не является ложью. Если … Философская энциклопедия
Парадокс — У этого термина существуют и другие значения, см. Парадокс (значения). Роберт Бойль. Схема доказательства того, что вечного двигателя не существует Парадокс … Википедия
Парадокс Карри — В этой статье не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена. Вы можете … Википедия
ПАРАДОКС — (греч. paradoxos неожиданный, странный) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятым, устоявшимся мнением, отрицание того, что представляется «безусловно правильным»; в более узком смысле два противоположных утверждения, для… … Философская энциклопедия
ПАРАДОКС ЛОГИЧЕСКИЙ — положение, которое сначала еще не является очевидным, однако, вопреки ожиданиям, выражает истину. В античной логике парадоксом называли утверждение, многозначность которого относится прежде всего к его правильности или неправильности. В… … Философская энциклопедия
Лжеца Парадокс — Лжеца Парадокс ♦ Menteur, Paradoxe Du Критянин Эпименид говорил: «Все критяне – лжецы». Следовательно, его высказывание ложно, если оно истинно (если он говорил правду), и истинно, если оно ложно (если он солгал). Это один из традиционных… … Философский словарь Спонвиля
Парадокс лысого (философия) — Евбулид (из Милета; Эвбулид, Eubulides; IV век до н. э.) древнегреческий философ идеалист, представитель мегарской школы, известен своими парадоксами или «апориями» («Лжец», «Куча», «Плешивый», «Рогатый» и др.). Содержание 1 Парадоксы (апории)… … Википедия
парадокс — (греч. paradoxos) в широком смысле: утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется безусловно правильным ; в более узком смысле два противоположных утверждения, для каждого из которых… … Словарь терминов логики
глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения»
Второй постулат большого пальца:
Простая и приемлемая ложь полезнее сложной и непонятной истины.
ЗАКОНЫ МЕРФИ (РАЗВИТАЯ МЕРФОЛОГИЯ
http://aphorism-list.com/merfi.php?page=razv1)
«Традиционная лаконичная формулировка этого парадокса гласит: если лгущий говорит, что он лжёт, то он одновременно лжёт и говорит правду» (3, с. 193).
«»Лжец» – антиномия, восходящая к Евбулиду из Милета (4 в. до н.э.)./(Предложение, взятое в скобки, ложно)/»(8).
«Если это предложение истинно, то из его содержания вытекает, что оно ложно. Если же оно ложно, то опять-таки из его содержания вытекает, что оно истинно»(5).
Существуют несколько вариантов «Лжеца»:
1) «Я лгу»;
2) «Предложение»: «Данное предложение ложно»;
3) «Высказывание»: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно»;
4) «Это – ложь»;
5) «Лист» – «На одной стороне листа написано: «На другой стороне листа находится истинное высказывание»,– на другой стороне листа написано: «На другой стороне листа находится ложное высказывание»»;
6) В средние века распространённой была такая формулировка:
« – Сказанное Платоном – ложно, – говорит Сократ.
– То, что сказал Сократ, – истина, – говорит Платон»
Истинны ли (ложны) эти высказывания?
Выражения «я лгу» и «это – ложь» отличаются от других вариантов возможностью более широкого понимания, то есть несколько меньшей замкнутостью относительно их понимания. Поэтому рассмотрю сначала их.
Если принять за точку опоры период времени до их произнесения, включающий другие слова (или действия) помимо названных – ПРОШЛОЕ (глава «Парадокс Эпименида о критянах-лжецах», http://proza.ru/2009/04/15/732), то в этом случае появляется потенциальная возможность проверки этих выражений на предмет логического значения. Если то, на что указывают данные выражения, соответствует действительности, то эти выражения высказывают ложь, говоря, что информация, на которую они указывают (слова, действия), была ложна, хотя на самом деле она была верной. А в случае, когда информация, на которую указывают данные выражения, была ложной относительно действительности, эти выражения становятся уже истинными, потому что подтверждают факт о том, что информация, к которой они относятся, является ложной. Такой подход уже существует, то есть когда предполагается, что ответ на вопрос парадокса зависит от слов-указателей, рассмотрения указательных местоимений. И если подойти с точки зрения целей субъекта высказываний «я лгу» и «это – ложь», то данные выводы становятся понятными. Ведь если источник произвёл какое-либо ложное сообщение (или действие), то указать на свою ложь (ошибку) он и должен последующими фразами «я лгу» или «это – ложь», которые в обычной трактовке, в повседневном использовании тождественны словам «я солгал», исходя из размытости понятия «настоящее время», фактически означающими «я совершил ошибку, исказил истинное положение вещей».
Таким образом, при понимании этих выражений как указателей на конкретную ситуацию (слова, действия) в границах настоящего, предшествующую моменту их произнесения, возникает потенциальная возможность для них стать истинными после проверки.
Но на самом деле нельзя утверждать, к чему относятся данные выражения. Этого нет в условиях, это лишь предположение, не более того. Поэтому необходимо рассматривать данные слова в отношении не какой-то конкретной ситуации, а ко всей фактической информации в данный период времени. Далее.
Сам временной период, к которому относятся эти фразы, можно считать равным периоду «ПРОШЛОЕ» по принятым мной определениям («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-А, http://proza.ru/2009/04/27/370 и глава «Парадокс Эпименида о критянах-лжецах», http://proza.ru/2009/04/15/732). В рассмотрение также НЕЛЬЗЯ включать период времени «СИЯ СЕКУНДА», потому что, как и в парадоксе о критянах, эти фразы являются обобщением уже совершённых действий. Поэтому, как доказано в решении парадокса о критянах, нельзя обобщить то, чего нет, то есть нельзя сказать истинное суждение о неизвестном, потому что логическое значение определяется, во-первых, по известному факту, а, значит, во-вторых, которое можно проверить. И теперь фразы по логическому значению могут стать как истинными, так и ложными, что совпадает с вышеописанными ответами о конкретной информации. Только проверка должна производиться по всему объёму информации, доступному в данный временной отрезок. Но так как сообщаемую информацию из этих фраз невозможно проверить, значит,
они не имеют логического значения и являются НИ ИСТИННЫМИ, НИ ЛОЖНЫМИ, то есть НЕИЗВЕСТНЫМИ по логическому значению.
Теперь рассмотрим остальные варианты «Лжеца». Оказывается, что оставшиеся варианты по временному параметру относятся к совершенно другому периоду времени. Это период «СИЯ СЕКУНДА». То есть доступная информация, по которой следует проверять логическое значение этих фраз, заключена только в них самих, во временном отрезке их появления. Они самозамкнуты. И это уже не предположение, а факт. И уже теперь все оставшиеся варианты «Лжеца» становятся равнозначными, так как замыкаются на себе – вся информация, содержащаяся в них, о них самих и ни о чём более.
Можно, конечно, рассмотреть ещё одну «точку опоры выводов» по временному параметру – момент настоящего, передвигающийся в будущее. Но тогда, фактически, он становится неуловимым: каждый исследователь находится в своём моменте настоящего, который для него, а также и для других становится прошлым (в границах даже бытового понимания настоящего, к примеру, несколько часов или дней). Но даже неважно рассмотрение каждого отдельного исследователя, ведь источник «Лжеца», особенно это очевидно в вариантах «я лгу» и «это – ложь», остался в далёком прошлом для них, а в «предложении» (высказывании), «листе» авторство вообще неважно. Таким образом, для извлечения понимания необходимо рассмотреть самозамкнутость «Лжеца» по отношению к фактам действительности.
Для решения «Лжеца», то есть нахождения его логического значения, необходимо точное понимание его содержания. Все варианты («лист» в несколько измененном виде) гласят одно – они искажают истину. То есть, если было бы можно проверить информацию в них при сопоставлении с действительностью, тогда они были бы истинными или ложными в зависимости от соответствия или несоответствия того, о чём они сообщают, тому, что существует на самом деле в действительности, как и рассмотрено выше об отнесении «я лгу» и «это – ложь» к другим словам («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Г, http://proza.ru/2009/04/27/370). Но загвоздка, как раз, в том, что невозможно произвести такую проверку. Поэтому, основываясь лишь на информации об искажении истины, «Лжецом», нельзя утверждать истинно или ложно данное выражение, а, следовательно,
оно НИ ИСТИННО, НИ ЛОЖНО, не имеет логического значения, НЕИЗВЕСТНО.
Мне могут возразить, что в вариантах с «философами» и «листе» фразы не являются самозамкнутыми. Действительно, вместо одной фразы в них два разных предложения, указывающих не на самих себя, как источника проверки на логическое значение, а на другую информацию. Но фактически эти варианты точно такие же, потому что вся доступная информация для проверки, всё равно, сводится к ссылке на себя. Более того, эти варианты позволяют легче понять «Лжеца». Здесь нужно обратится к распространенному методу устранения и понимания парадоксов – иерархии языков, разделению языка и метаязыка.
«(…) парадокс «Лжец» возникает из-за смешения двух языков. Как же связан этот парадокс с ними? Ещё античные философы заметили, что каждое высказывание естественного языка выражает определённую мысль, но не несёт никакой информации о том, истинна ли эта мысль или нет. Более того, они показали, что именно это утверждение об истинности того или иного высказывания не может быть выражено в естественном языке. Рассуждали они следующим образом. Пусть A0 есть некоторое высказывание, например: «1 января шёл снег», и пусть это событие действительно имело место. Но так как из содержания высказывания А0 не следует, что оно истинно, то необходимо дополнительное высказывание A1: «Высказывание A0 истинно».(…)
Получается, что понятие истинности действительно не выразимо средствами естественного языка.
Предметный язык и метаязык – это разные языки, это языки, относящиеся к различным иерархическим уровням. Игнорирование этого обстоятельства неминуемо должно привести к противоречиям. Примером может послужить описанный выше парадокс «Лжеца». Покажем, что это действительно так.
С одной стороны, предложение «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно» относится к метаязыку, поскольку в нём говорится о ложности некоторого высказывания.
С другой стороны, поскольку о каком-то высказывании говорится, что оно ложно, то высказывание, ложность которого утверждается, должно относиться к предметному языку. Но в данном случае высказывание утверждает ложность самого себя. Значит, само это высказывание должно относится к предметному языку. Получается, что рассматриваемое предложение относится и к метаязыку, и к предметному языку. Но это же разные языки. Игнорирование этого различия и привело к парадоксу». Конец цитаты (4).
Для ответа на вопрос о логическом значении какого-либо высказывания необходимо:
1. Информация из этого высказывания, то есть смысловое основание его, которое проверяется.
2. Информация из другого высказывания, то есть смысловое основание о факте, проверенное и принятое истинным.
3. Информация о самом факте, то есть смысловое описание факта.
И затем первое основание сравнивается со вторым, которое уже сравнено с третьим. И делается заключение о логическом значении первого высказывания. Простая логическая операция, когда из двух посылок делается вывод (о логическом значении). Например, фраза «1 января шёл снег» сравнивается с фразой «истинно, что «1 января не шёл снег»», которая исходит из факта: «1 января не шёл снег». А значит, фраза «1 января шёл снег» ложна, так как не соответствует истине – то, что говорится, не соответствует тому, о чём говорится (глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Г, http://proza.ru/2009/04/27/370). Поэтому ответ о логическом значении фразы «Данное предложение ложно» или варианта с «Листом» должен находится по этому же принципу.
Из этой фразы следует первая информация: 1. какое-то предложение имеет логическое значение, являющееся ложным. И этим предложением является ДАННОЕ предложение, что следует из фразы. Для сравнения необходима информация о фактическом положении, то есть: 2. истинно, что данное предложение является ложным (или истинным). Но такой информации нет, её просто не существует, потому что нет факта 3. Данное предложение ложно (или истинно).
ПОЭТОМУ ВЫСКАЗЫВАНИЕ «ДАННОЕ ПРЕДЛОЖЕНИЕ ЛОЖНО» ЯВЛЯЕТСЯ НИ ИСТИННЫМ,НИ ЛОЖНЫМ, то есть не имеет логического значения.
Отсюда можно сделать вывод, что можно установить логическое значение только тех высказываний, которые содержат смысловое основание о других высказываниях, как «точки опоры выводов» или «второй необходимой посылки» для заключения об этом высказывании.
Таким же образом, неизвестными по логическому значению, или ни истинными, ни ложными, будут и высказывания: «данное предложение истинно», «эта фраза красивая», «произносимое сейчас мной данное высказывание длинное» и т. д. Другими словами, самозамкнутую фразу можно проверить на логическое значение, лишь сравнив с принятым за истинный постулатом: «все фразы делятся на множества с логическим значением и без него, если его нельзя проверить». Высказывание «Данное предложение ложно (истинно, неизвестно)» нельзя проверить, значит, оно относится ко второму множеству без логического значения.
Но здесь возникает интересная ситуация. Вариант «Лжеца» о двух высказываниях («лист», «философы») приводит к следствию: его части могут иметь разное логическое значение. Рассмотрим варианты:
А. 1. Фраза 2 имеет логическое значение (истинное или ложное)
2. Фраза 1 имеет логическое значение (истинное или ложное)
Б. 1. Фраза 2 имеет логическое значение (истинное или ложное)
2. Фраза 1 не имеет логического значения
В. 1. Фраза 2 не имеет логического значения
2. Фраза 1 имеет логическое значение (истинное или ложное)
Г. 1. Фраза 2 не имеет логического значения
2. Фраза 1 не имеет логического значения
Эти формулировки напоминают вариант парадокса «Лжец» «в редакции Альберта Саксонского («средневековый философ, логик, математик и естествоиспытатель. Ученик Жана Буридана», «Википедия», Альберт Саксонский):
A1: Высказывание А2 ложно.
А2: Высказывание A1 истинно.
A1: Высказывание А2 ложно.
А2: Высказывание A3 ложно.
А3: Высказывание A1 ложно.» (А. Бердичевский.– О природе логических и семантических парадоксов:(Семинар ОТиПЛ МГУ),
Все высказывания могут быть ложными, истинными или неизвестными, то есть ни истинными, ни ложными: А=ИvЛvН («Логические парадоксы. пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Д, http://proza.ru/2009/04/27/370).
В виде множеств это выглядит так:
множество «все высказывания» составляют
А.ИЗВЕСТНЫЕ 1-истинные, 2-ложные
Б.НЕИЗВЕСТНЫЕ 1-непроверяемые, 2-проверяемые
Теперь проверим логическое значение фраз. Первая фраза проверяется по второй, так как говорит о ней. И если вторая фраза соответствует факту (или нет), то первая будет истинной (ложной). Но вторая фраза говорит о логическом значении первой фразы, которое неизвестно. Значит, вторая фраза не имеет логического значения, потому что её нельзя проверить.
А. 2=Н (ни истинна, ни ложна), а 1 утверждает, что 2 = ИvЛ (имеет логическое значение), значит 1=Л. Или 2 є N, 1= 2 є L => 1=Л
Б. 2=Н, но 1 утверждает, что 2= ИvЛ => 1= Л
В. 2=Н, но 1 утверждает, что 2= Н => 1= И
Г. 2= Н, но 1 утверждает, что 2= Н => 1= И
Из этих ответов видно, что замкнутые друг на друга фразы могут принимать истинные и ложные значения в зависимости от выбора «точки опоры» и содержания высказывания. Так, если проверять не первые, а вторые фразы на логическое значение, то ответы будут развернуты на 180 градусов.
Теперь можно сказать о самозамкнутой фразе:
1. Высказывание «Данное предложение ложно (истинно; ни истинно, ни ложно)» принадлежит к множеству неизвестных, ни истинных, ни ложных высказываний, потому что его невозможно проверить.
2. Суждение о том, что «Высказывание «Данное предложение ложно (истинно; ни истинно, ни ложно)» не имеет логического значения, то есть ни истинно, ни ложно» является истинным, так как это предложение входит во множество неизвестных по логическому значению высказываний, что соответствует факту.
Все варианты «Лжеца» ни истинны, ни ложны не только для любого адресата, но и для самого их источника (автора), потому что, даже если его цель и была произвести ложное либо истинное сообщение этими словами, своей цели он не достигнет из-за самозамкнутости, безотносительности этих фраз.
«Лжеца» не зря называют королём парадоксов, потому что в других парадоксах, хотя окончательный ответ может быть таким же, но в них существует, хотя бы и чисто теоретическая, возможность их проверки для определения логического значения, а в нём отсутствует любая возможность его проверки (кроме «я лгу» и «это – ложь»). Это чистая абстракция.
Парадокс Лжец или мы все врём? | Парадокс Эпименида
Как я уже говорил, это логическое семейство парадоксов, разделяют 3 вида. Давайте я вам расскажу про каждый. Первый «Парадокс Пиноккио»
У Пиноккио имелось свойство: когда он лгал (говорил неправду), его нос тут же заметно увеличивался.
Что будет, если Пиноккио скажет: «Сейчас у меня удлинится нос»?
Если нос не увеличится — значит, мальчик соврал, и нос будет обязан тут же вырасти. А если нос вырастет — значит, мальчик сказал правду, но тогда почему вырос нос?\\\
Второе Парадокс Ябло это логический парадокс, похожий на парадокс лжеца. Был опубликован Стефаном Ябло в 1993 году. Возьмём бесконечное число утверждений:
• (S1): для всех k > 1, Sk есть ложь
• (S2): для всех k > 2, Sk есть ложь
• (S3): для всех k > 3, Sk есть ложь
С условием того, что каждое утверждение ничего не говорит о своей собственной истинности или ложности. Возьмём любое утверждение Sk. Ложно оно или истинно? Предположим, что истинно. Тогда Sk+1, Sk+2 и тд. все ложны. Но ложность Sk+2, Sk+3, и т. д. — как раз то, что утверждает Sk+1. Поэтому получаем противоречие: с одной стороны Sk+1 ложно, а с другой стороны истинно
Третий Парадокс Карри
• Обозначим через S высказывание «Если S верно, то русалки существуют»;
• Если высказывание S было верным, то это влекло бы существование русалок;
• Следовательно, русалки существуют!
\\\\Формальная логика не может доказать или опровергнуть парадокс лжеца. Решение было дано Бертраном Расселом. Он использовал нестрогое условие «я лгу, но не всегда» Данное условие мы использовали, когда обсуждали фразу Хауса «Все лгут». Таким образом, парадокс перестаёт быть парадоксом.
Парадокс лжеца является псевдопарадоксом. Потому что, нужно смотреть на то, что в конечном итоге будет получено словами, сказанными с использованием ими такого понятия как достоверность, в достижении их цели. Современная формулировка такова. Некто произносит: «Я сейчас лгу. Солгал ли я в предыдущей фразе?» Или просто: «Я лгу». Есть еще варианты: «Я всегда лгу», «Лгу ли я, когда лгу?», и т.п. Если фраза имеет форму утверждения, то надо определить, истинная эта фраза или ложная. Если фраза имеет форму вопроса, то надо определить, какой ответ («да» или «нет») для нее правилен.
Все что я говорю ложь я лгу прямо сейчас
Формулировка парадокса
Если предположить, что Эпименид сказал правду, то выходит, что он, как и все критяне,- лжец. А значит, он солгал. Если же он солгал, тогда получается, что он, как и все критяне,- не лжец. А значит, он сказал правду.
Подробнее о правилах преобразования подобных фраз см. в пункте о логике предикатов. Из-за этих ошибок в древней формулировке используется другая, более сильная формулировка парадокса.
Сильная (современная) формулировка такова. Некто произносит: «Я сейчас лгу. Солгал ли я в предыдущей фразе?» Или просто: «Я лгу». Есть еще варианты: «Я всегда лгу», «Лгу ли я, когда лгу?», и т.п. Если фраза имеет форму утверждения, то надо определить, истинная эта фраза или ложная. Если фраза имеет форму вопроса, то надо определить, какой ответ («да» или «нет») для нее правилен.
Почему решение не одно?
Решение «психологией»
В целом это решение сводится к тому, что Эпименид в пылу спора выразился в гораздо более категоричной форме, чем хотел бы сказать. Условие задачи несколько меняется, и в результате последующие рассуждения к парадоксу не приводят. Но что будет, если оставить условие прежним?
Решение Бертрана Рассела
В результате мы либо признаем Эпименида шизофреником, который одновременно и согласен с собой, и не согласен. Либо мы признаем, что в этой фразе на самом деле спрятано множество фраз, и у каждой из них есть своя истинность или ложность:
я лгу = истина
я лгу, что я лгу = ложь
я лгу, что я лгу, что я лгу = истина
я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь
и так далее
я лгу = ложь
я лгу, что я лгу = истина
я лгу, что я лгу, что я лгу = ложь
я лгу, что я лгу, что я лгу, что я лгу = истина
и так далее
Решение по теории множеств
Решение интерпретацией
Еще одно решение основано на точной интерпретации понятия «лжец». Обычно лжецом называют не того, кто лжет всегда и во всем, а того, кто лжет регулярно. Но не всегда. Тем самым мы имеем решение Рассела для современного варианта парадокса и психологическое решение для варианта древнего.
Решение в логике предикатов
Итак, использование более универсальной логики тоже позволяет решить парадокс.
Решение в многозначной логике
Очень похоже выглядит решение в другой многозначной логике: трехзначной. Там есть три степени истинности: «да», «нет» и «не знаю» (или «истина», «ложь» и «неопределенно»). Между истиной и ложью есть третье, промежуточное по смыслу значение. Оно и является правильным ответом на вопрос парадокса (отрицание «не знаю» дает «не знаю»).
Решение в двузначной логике
решений не имеет. Наша система уравнений тоже не имеет решений. Это означает буквально следующее: на заданный вопрос нельзя ответить ни «да», ни «нет». Поскольку ни вариант «X = истина», ни вариант «X = ложь» не подходят. Этот вывод согласуется с остальными решениями, поскольку все они так или иначе отказываются давать однозначный ответ «да» или «нет».
Решение в стиле программирования
Решение в аксиоматическом методе
Напоследок приведу решение, предложенное Inex.
Парадоксы в математике возникают тогда, когда используемая система аксиом несовместна. Это слово означает, что из такой системы можно вывести как само утверждение, так и его отрицание. То же самое относится и к системе логических формул. Мы считаем, что система аксиом логики высказываний непротиворечива. К ней добавляется новая система аксиом.
Вот и все. Парадокс не в логике, а в предпосылках. Из ложной посылки можно вывести любое следствие.
От себя добавлю: это означает, что иногда (как в данном случае) условия задачи могут быть специально подобраны так, чтобы противоречить применяемой логике. В этом ведь и смысл парадокса лжеца: наглядно продемонстрировать, как можно сформулировать такую задачу, что ее ответ не будет двузначным, не уложится в «да» или «нет». Аксиоматический метод со своей стороны отвечает на вопрос, как и почему это происходит.
Заключение
Инженеры имеют много инструментов для измерения длины. Иногда достаточно небольшой точности и применяется простая линейка. А иногда нужна точность повыше, и применяется микрометр или микроскоп. Но всегда помнят о том, какая точность нужна и какую можно получить. И выводы всех приборов будут вполне определенны и разумны с учетом их погрешности.
Математика имеет много вариантов логики для измерения истинности. Иногда достаточно небольшой точности, и используется двузначная логика. А иногда нужна точность повыше, и применяются более сложные методы. Опять же, выбранный метод определяет точность результата.
Как видим, математика позволяет решить парадокс лжеца с применением любой из наиболее популярных видов логики. Тип логики определяет ответ. Но в принципе все «логики» сходятся в одном. На вопрос лжеца нельзя дать один ответ потому, что в самом вопросе на деле спрятан не один, а несколько вопросов. Если же учесть этот факт, то мат. логика даст четкий ответ.
Зато можно дать вполне определенный ответ на другой вопрос: нет, парадокс лжеца не является неразрешимым. Он хорошо решается в разных видах математической логики. Он замечателен тем, что является хорошим «испытанием» и для новых видов логики, которые несомненно еще будут изобретены.