Все ребра пирамиды равны что это значит

Все ребра пирамиды равны что это значит

Ключевые слова: пирамида, многогранник, правильная пирамида, грань, объем, боковая поверхность

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник,
а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми.
Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.
Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми.
Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, отсекает ее на подобную пирамиду и усеченную пирамиду.

Если все боковые ребра равны, то

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то

См. также:
Усеченная пирамида

Источник

Узнать ещё

Знание — сила. Познавательная информация

Пирамиды, в которых все боковые ребра равны

Рассмотрим свойства пирамид, в которых все боковые ребра равны, с соответствующими чертежами.

Если все боковые ребра пирамиды равны между собой, то вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности.

Прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, боковыми ребрами и их проекциями (равными радиусу описанной окружности), равны. Поэтому также

— все боковые ребра пирамиды образуют с плоскостью основания равные углы;

— все углы, которые боковые ребра образуют с высотой пирамиды, равны.

Решение задач на пирамиду, в которой все боковые ребра равны (либо все боковые ребра образуют равные углы с основанием пирамиды или с высотой пирамиды) начинается с чертежа.

Если основание пирамиды — треугольник.

Центр окружности, описанной около остроугольного треугольника, лежит внутри треугольника.

Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

На рисунке тупой угол — это угол B.

Радиус окружности, описанной около произвольного остроугольного либо тупоугольного треугольника ABC, можно найти по следствию из теоремы синусов:

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

Радиус описанной около основания окружности в этом случае равен

Отсюда для данного треугольника ABC с прямым углом B

Если основание пирамиды — параллелограмм

Из всех параллелограммов описать окружность можем только около прямоугольника (квадрат — его частный случай). Поэтому, если в задаче сказано, что пирамиде все боковые ребра равны, либо все боковые ребра одинаково наклонены к плоскости основания, либо все боковые ребра образуют с высотой пирамиды равные углы, а в основании — параллелограмм, то это может быть только прямоугольник (квадрат).

Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей. Соответственно, радиус R равен половине диагонали прямоугольника.

Из всех трапеций описать окружность можно только около равнобочной трапеции.

Радиус описанной окружности ищем как радиус окружности, описанной около одного из треугольников ABC или ACD по одной из формул, приведенных выше.

Если диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне

боковые ребра пирамиды равны

В этом случае центр описанной около трапеции окружности лежит на середине большего основания, а высота пирамиды лежит в боковой грани, содержащей это большее основание.

Радиус R в этом случае — половина гипотенузы прямоугольного треугольника ACD.

Если основание пирамиды — произвольный четырехугольник

Радиус описанной около основания окружности находим как радиус окружности, описанной около одного из треугольников основания: ABC, BCD, ACD или ABD.

Поскольку описать около четырехугольника окружность можно только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180 градусов, то

Источник

Пирамида

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

Виды пирамид

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Источник

Объем пирамиды (ЕГЭ 2022)

В этой статье вы поймете что такое пирамида и какими они бывают.

Вы научитесь вычислять объем пирамиды, высоту и другие ее параметры.

Вы научитесь решать задачу на доказательство (ЕГЭ №14) и записывать доказательства так, чтобы не сняли баллы на ЕГЭ.

Объем пирамиды — коротко о главном

Определение пирамиды:

Пирамида – это многогранник, который состоит из любого плоского многоугольника (основание пирамиды), точки, не лежащей в плоскости основания, (вершина пирамиды) и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Треугольники, в которые «сливаются» эти отрезки, называются боковыми гранями, а отрезки, проведённые к вершинам основания — это боковые ребра.

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

Правильная пирамида — пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Свойства правильной пирамиды:

Объем пирамиды:

Что такое пирамида

Вместо того, чтобы читать длинное определение, достаточно просто посмотреть на картинку:

Видишь: у пирамиды внизу (говорят «в основании») какой-нибудь многоугольник, и все вершины этого многоугольника соединены с некоторой точкой в пространстве (эта точка называется «вершина»).

У всей этой конструкции ещё есть боковые грани, боковые рёбра и рёбра основания.

Ещё раз нарисуем пирамиду вместе со всеми этими названиями:

Некоторые пирамиды могут выглядеть очень странно, но всё равно это – пирамиды.

Вот, например, совсем «косая» пирамида.

И ещё немного о названиях: если в основании пирамиды лежит треугольник, то пирамида называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной, а если стоугольник, то … догадайся сам.

Высота пирамиды

Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.

При этом точка, куда oпустилась высота, называется основанием высоты.

Обрати внимание, что в «кривых» пирамидах высота может вообще оказаться вне пирамиды.

И ничего в этом страшного нет. Похоже на тупоугольный треугольник.

Правильная пирамида

Правильной называется такая пирамида, у которой в основании лежит правильный многоугольник, а вершина пирамиды проецируется в центр основания.

Много сложный слов?

Давай расшифруем: «В основании – правильный многоугольник» — это понятно.

А теперь вспомним, что у правильного многоугольника есть центр – точка, являющаяся центром и вписанной, и описанной окружности.

Ну вот, а слова «вершина проецируется в центр основания» означают, что основание высоты попадает как раз в центр основания. Смотри, как ровненько и симпатично выглядит правильная пирамида.

Шестиугольная правильная пирамида

В основании – правильный шестиугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в центр основания.

Четырехугольная правильная пирамида

В основании – квадрат, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения диагоналей этого квадрата.

Треугольная правильная пирамида

В основании – правильный треугольник, вершина \( \displaystyle S\) проецируется в точку пересечения высот (они же и медианы, и биссектрисы) этого треугольника.

Очень важные свойства правильной пирамиды

В правильной пирамиде:

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac<1><3>\)?

Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac<1><3>\), а у цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle <_<осн>>\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle <_<осн>>\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь.

Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac<1><2>ab\cdot \sin \gamma \)

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» — это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60<>^\circ =\frac<\sqrt<3>><2>\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

Чему же равно \( \displaystyle OC\)?

Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамида правильная и, значит, \( \displaystyle O\) — центр \( \displaystyle \Delta ABC\)

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac<2><3>CK\), так как \( \displaystyle O\) — точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C<^<2>>=A<^<2>>-A<^<2>>\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

И подставим все в формулу объема:

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

Здесь \( \displaystyle <_>\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle <_>=<^<2>>\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle <_>\) подставляем в формулу объема.

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

Как найти \( \displaystyle <_>\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14. Стереометрия. Пирамида. Разбор варианта профильного ЕГЭ 2020

В этом видео мы разобрали следующие вопросы:

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

А теперь попробуй ты!

Мы рассказали тебе все о пирамидах. Не о тех, что строили инопланетяне и рептилоиды, но все же… Сделали это не хуже всяких конспирологических каналов!

Теперь ты можешь быть уверен, что у тебя есть хорошая база для решения большинства задач стереометрии. И ты не зайдешь в тупик прямо со слов «В правильном тетрадэдре PABCD…»

А теперь слово тебе. Расскажи нам, понравилась ли тебе статья? Были ли трудности?

Напиши нам ниже в комментариях!

А еще можешь задавать любые вопросы. Мы читаем все и обязательно ответим.

Источник

Основные свойства пирамиды

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства пирамиды (касательно боковых ребер, граней, вписанной и описанной в основание окружности), сопроводив их наглядными рисунками для лучшего восприятия представленной информации.

Примечание: определение пирамиды, ее основные элементы и разновидности мы рассмотрели в отдельной публикации, поэтому здесь на них подробно останавливаться не будем.

Свойства пирамиды

Пирамида с равным боковыми ребрами

Свойство 1

Все углы между боковыми ребрами и основанием пирамиды равны.

∠EAC = ∠ECA = ∠EBD = ∠EDB = α

Свойство 2

Вокруг основания пирамиды можно описать окружность, центр которой будет совпадать с проекцией вершины на ее основание.

Боковые грани пирамиды наклонены к основанию под одинаковым углом

Свойство 3

В основание пирамиды можно вписать окружность, центр которой совпадает с проекцией вершины на основание фигуры.

Свойство 4

Все высоты боковых граней пирамиды равны между собой.

Примечание: для перечисленных выше свойств верны и обратные формулировки. Например, для Свойства 1: если все углы между боковыми ребрами и плоскостью основания пирамиды равны, значит эти ребра имеют одинаковую длину.

Источник