Всегда ли площадь шестиугольника больше чем площадь пятиугольника
Площадь правильного и неправильного пятиугольника: как рисовать, упражнения
Содержание:
В этом случае есть формула для вычисления точной площади правильного многоугольника, зная некоторые из его основных характеристик, которые мы выведем позже.
Если многоугольник не правильный, то есть имеет стороны разных размеров и неравные внутренние углы, единой формулы не существует.
Однако математики нашли методы вычислений, такие как разделение фигуры на другие с меньшим количеством сторон, такие как треугольники, квадраты и прямоугольники, размеры которых легко узнать или вычислить.
Как найти площадь правильного пятиугольника?
Мы собираемся взять правильный пятиугольник со стороной a и разделить его на 5 равных треугольников, как показано на рисунке, проведя отрезки от центра (красный) до вершин (синий).
В свою очередь, треугольники, как и тот, который выделен желтым справа на рисунке выше, делятся на два равных прямоугольных треугольника благодаря зеленому сегменту, который называется апофема.
Апофема определяется как перпендикулярный сегмент, который соединяет центр многоугольника с центром одной из сторон. Его длина LК.
Площадь прямоугольного треугольника с основанием a / 2 и высотой LК это:
Пентагон состоит из 10 таких треугольников, поэтому его площадь равна:
Но периметр п пятиугольника равно P =10а, поэтому площадь определяется как произведение периметра и длины апофемы:
Площадь правильного пятиугольника, знающая сторону a
Выражая длину апофемы LК как функция стороны a, зная, что указанный угол составляет половину центрального угла, то есть 36º, что эквивалентно:
Методом элементарной тригонометрии через тангенс острого угла 36º:
загар (π / 5) = (a / 2) ÷ LК
LК= (а / 2) ÷ загар (π / 5)
Подставив в область, выведенную в предыдущем разделе, и зная, что P = 5a:
Площадь правильного пятиугольника, зная его радиус
cos 36º = cos (π / 5) = LК ÷ R
sin 36º = sin (π / 5) = (a / 2) ÷ R
А = P x LК / 2 = 5р. sin (π / 5) x R. cos (π / 5) = 5R 2 [sin (π / 5) x cos (π / 5)]
Используя формулу двойного угла:
грех (2θ) = 2 греха θ. cos θ
[sin (π / 5) x cos (π / 5)] = (1/2) sin 72º
Итак, подставив это значение, мы получим следующую формулу для площади правильного пятиугольника:
Как рассчитать площадь неправильного пятиугольника?
Триангуляция
Он состоит из деления фигуры на треугольники, площадь которых легче вычислить, или ее также можно проверить с другими фигурами, площадь которых известна, такими как квадраты, прямоугольники и трапеции.
Гауссовские детерминанты
Зная эти координаты, применяется гауссовский метод определителей для вычисления площади, которая определяется следующей формулой:
Полосы, сопровождающие формулу, представляют собой столбцы модуля или абсолютного значения.
Это означает, что даже если результат операции отрицательный, мы должны выразить его положительным знаком, а если он уже положительный, то его нужно оставить с этим знаком. Это потому, что площадь всегда является положительной величиной.
Процедура названа гауссовскими детерминантами в честь ее создателя, немецкого математика Карла Ф. Гаусса (1777-1855). Указанные операции эквивалентны определителю матрицы 2 × 2, например, первый определитель равен:
Чтобы найти площадь пятиугольника, мы должны решить 5 определителей, сложить результат алгебраически, разделить его на 2 и, наконец, выразить площадь всегда с положительным знаком.
Решенные упражнения
Упражнение 1
Решение
Поскольку это правильный пятиугольник, а у нас есть размеры стороны и апофемы, мы используем формулу, полученную выше:
Периметр P равен 5a = 5 x 5,9 см = 29,5 см.
A = 29,5 см x 4 см / 2 = 59 см 2
Упражнение 2.
Найдите площадь неправильного пятиугольника, как показано. Известны следующие размеры:
Решение
EA 2 + EC 2 = AB 2 + BC 2
Поскольку EA и AB измеряют одно и то же, отсюда следует, что:
Поскольку BC = 12, то ED = 12 / √2 = 8,485.
Используя эти значения, мы рассчитаем площадь каждого треугольника и добавим их в конце.
Площадь треугольника EDC
ED x DC / 2 = 8,485 2 / 2 = 36
Площадь треугольника AEC
EA x EC / 2 = EA x √2. ED / 2 = 5 x √2. 8 485/2 = 30
Площадь треугольника ABC
Тогда искомая область:
Это то же самое, что и треугольник AEC, поскольку они оба имеют одинаковые размеры.
Площадь неправильного пятиугольника
Наконец, запрашиваемая площадь представляет собой сумму площадей трех треугольников:
А = 36 + 30 + 30 единиц = 96 единиц.
Ссылки
Что такое мезография? Наиболее важные функции
Антарктида: характеристики, климат, флора, фауна, страны
Калькулятор площади пятиугольника
Пятиугольник представляет собой геометрическую фигуру с пятью углами. Существует множество разных пятиугольников, однако если стороны равны, а каждый угол фигуры равен 108 градусам, то многоугольник называется правильным и носит название «пентагон».
Геометрия пятиугольника
Пятиугольник — это фигура, которая состоит из пяти соединенных отрезков. Стороны произвольного многоугольника могут соединяться под разными углами, в результате чего фигура может быть невыпуклой. Наиболее ярким примером невыпуклого многоугольника является звезда, а пятиугольника — проекция зубчатой короны, когда два «зубца» выступают над прямоугольным основанием. Выпуклый многоугольник — это фигура, продолжение отрезков которого не пересекает других сторон. Если же мы продлим отрезки зубцов или лучей звезды, они пересекут другие стороны фигуры.
Пятиугольник в реальности
Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.
Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.
Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.
Площадь пентагона
Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:
S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),
где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.
Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:
где a — длина одной стороны.
Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:
Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:
Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.
Примеры из жизни
Пентагон
Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:
Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.
Школьная задача
К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:
Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.
Заключение
Пентагон нечасто встречается в реальной жизни, однако при решении производственных вопросов или школьных задач вам может понадобиться рассчитать площадь или периметр правильных многоугольников. Наш каталог калькуляторов к вашим услугам.
Как найти площадь неправильного пятиугольника?
Как найти площадь неправильного многоугольника 4 класс?
Для вычисления их площади пользуются формулой, известной всем со школы: S = a х b, где a и b – длина и ширина.
Как найти площадь многоугольника по сторонам?
Формула площади правильного многоугольника, зная стороны, представляет собой произведение количества сторон и квадрата длины стороны, деленное на четыре тангенса угла, полученного делением 180 градусов на то же количество сторон.
Как найти площадь неправильного треугольника?
Площадь треугольника через гипотенузу и по радиусу вписанной окружности. S = r * (r + c), где c — гипотенуза, r — радиус вписанной окружности.
Как найти площадь произвольного пятиугольника?
Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле: S = n/4 × a2 × ctg(pi/n), где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны. где a — длина одной стороны.
Как вычислить площадь неправильного многоугольника зная периметр?
Формула для нахождения площади правильного многоугольника: Площадь = 1/2 х периметр х апофема.
Как рассчитать площадь сложной фигуры?
Площадь сложных фигур
Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.
Как найти площадь шестиугольника 4 класс?
Площадь правильного шестиугольника равна площади равностороннего треугольника умноженной на шесть.
Как найти площадь разносторонней фигуры?
Узнать площадь фигуры помогут следующие формулы:
Как найти площадь 10 угольника?
Площадь любого правильного многоугольника вычисляется по формуле: S = (a * p)/2, где «a» — апофема, «p» — периметр. Подставьте значения «а» и «р» в формулу, чтобы вычислить площадь. Для примера рассмотрим шестиугольник (n = 6), сторона которого равна 10 см (s = 10).
Как найти площадь треугольника если известны все его стороны?
h = 2/a √p(p-a)(p-b)(p-c), где h — длина высоты треугольника, p — полупериметр, a — длина стороны, на которую падает высота (основание), b и c — длины двух других сторон треугольника.
Как высчитать квадратуру треугольника?
что обозначает, что площадь треугольника равна произведению длины его основания и высоты поделенной на два.
Как посчитать треугольник квадратуру?
Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.
…
Зная радиус вписанной окружности и полупериметр
Как рассчитать площадь комнаты с разными сторонами?
S=√p (p-a)(p-b)(p-c); При этом а, в, с обозначают стороны треугольника, а р – полупериметр. Чтобы его узнать все стороны следует суммировать, а затем поделить на 2. Чтобы вычислить площадь данной фигуры можно умножить длину основания на высоту, проведенную из этого основания, а затем результат поделить на 2.
Как найти площадь территории?
Вычислить площадь земельного участка прямоугольной формы поможет известная со школьных лет формула: S=AB, где A и B – длина и ширина прямоугольника. К примеру, ширина у вас 20 метров, а длина – 30. Производим вычисления и получаем площадь земли – 600 квадратных метров.
Что такое площадь?
Площадь — это размер двухмерной фигуры (плоской или неровно-поверхностной, искривленной), что принято называть квадратурой. … Нормированность, то есть площадь единичного квадрата равна 1. Из данного определения площади следует её монотонность, то есть площадь части фигуры меньше площади всей фигуры.
Площадь правильного шестиугольника – формула и расчет онлайн
Определение и построение
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.
Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Геометрия шестиугольника
Шестиугольник — фигура на плоскости, ограниченная шестью равными отрезками, которые пересекаются под углом 120 градусов. Изучением многоугольников в целом и гексагона в частности занимался отец геометрии Евклид, который в «Началах» предложил способ построения правильного шестиугольника при помощи циркуля и линейки.
Вокруг любой правильной геометрической фигуры можно описать окружность или вписать ее внутрь. Гексагон не исключение. Сторона фигуры a и радиусы описанной окружности R и вписанной r соотносятся как:
Главная особенность гексагона состоит в том, что сторона многоугольника и радиус описанной окружности абсолютно равны, так как 2sin(pi/6) = 1.
Немного фактов из истории
Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и прочих государствах, существовавших в одно время с ним. Вычисления помогали при возведении значительных сооружений, так как благодаря ей зодчие знали как выдержать вертикаль, правильно составить план, определить высоту.
Эстетика тоже имела большое значение, и здесь снова шла в ход геометрия. Сегодня этой науки нужны строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту тоже.
Поэтому лучше уметь рассчитывать S фигур, понимать, что формулы могут пригодиться на практике.
Пятиугольник в реальности
Невыпуклые геометрические фигуры редко встречаются в человеческой повседневности и обычно представляют собой основания для нестандартных призм. Наиболее распространенным пятиугольником в реальности считается пентагон — правильный многоугольник. Пентагон нашел применение в архитектуре и дизайне, и тезкой фигуры является одно из самых известных зданий Америки — штаб министерства обороны США.
Додекаэдр — платоново тело, каждая из 12 сторон которого является правильным пятиугольником. Додекаэдр используется в различных сферах, но наиболее известным представлением многогранника считается игральная кость d12, которая используется как генератор случайных чисел для настольных ролевых игр.
Несмотря на то, что многие организмы обладают пентасимметрией, например, морские звезды или плоды мушмулы, природные пятиугольные объекты практически не встречаются в природе.
Как найти площадь многогранника при известных координатах вершин
Общая формула вычисления площади
Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:
Формула получена следующим образом:
Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:
Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:
До начала вычислений
Всем известно, что периметр плоской фигуры, к которой относится шестиугольник, является ничем иным, как длиной ограничивающей линии. Для нахождения периметра такой фигуры как гексагон, достаточно будет найти и сложить длины всех его сторон. Чтобы произвести эту процедуру, нужно измерить длины всех составляющих его отрезков. Значительно облегчается задача, если данная фигура имеет правильную форму. Разберем далее, как нужно искать периметр шестиугольника.
Площадь пентагона
Площадь любой геометрической фигуры — это количественная оценка того, какую часть плоскости ограничивают ее стороны. Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по общей для всех правильных многоугольников формуле:
S = n/4 × a 2 × ctg(pi/n),
где n – количество сторон фигуры, a – длина стороны.
Таким образом, если подставить n = 5 и выразить получившееся выражение десятичной дробью, мы получим простую формулу для вычисления площади пентагона:
где a — длина одной стороны.
Сторона пентагона и радиусы вписанной r и описанной окружности R приблизительно соотносятся как:
Программный код калькулятора использует эти соотношения, что позволяет вам найти площадь правильного пятиугольника, зная только один параметр из перечисленных:
Рассмотрим на примерах, как вычислить площадь правильного пятиугольника.
Пентагон
Штаб министерства обороны США — это всемирно известное здание, которое имеет форму правильного пятиугольника. Каждая сторона штаба имеет длину 281 м и мы без проблем можем узнать, какую площадь занимает здание. Для более удобного представления выразим длину в километрах, введем эти данные в форму калькулятора a = 0,281 и получим результат:
Площадь Пентагона составит 0,136 квадратных километров.
Школьная задача
К примеру, необходимо вычислить площадь пентагона, зная, что радиус вписанной окружности составляет 15 см. Мы можем выразить сторону многоугольника через простое соотношение радиуса вписанной окружности и длины стороны a = 1,4131 r, после чего посчитать по формуле его площадь. Проще всего ввести значение радиуса в ячейку «Радиус вписанной окружности r» и получить мгновенный результат:
Кроме непосредственно площади фигуры, калькулятор автоматически подсчитал остальные атрибуты пятиугольника.
Примеры шестиугольников
Гексагон — довольно распространенная геометрическая фигура. В человеческой повседневности форму шестиугольника принимают грани таких объектов как гайки, карандаши или детали машин. В природе шестиугольную форму имеют пчелиные соты, снежинки, а также кристаллические решетки некоторых соединений углерода. Кроме того, существует уникальное космическое явление на Сатурне — гигантский гексагон, который представляет собой атмосферный вихрь в виде правильного шестиугольника.
Шестиугольник — эффективная фигура, позволяющая замостить поверхность без пробелов или наложений. Кафель или тротуарная плитка часто принимают форму гексагона, однако наиболее выдающимся примером замощения поверхности шестиугольником является Мостовая гиганта — памятник природы, образованный соединением более 40 000 базальтовых колонн. Шестиугольные колонны Мостовой гиганта образовались в результате древнего извержения вулкана и элегантно замостили поверхность североирландского побережья.
Расчет
Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.
Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.
Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.
Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:
Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема
Считаем:
Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².
Шестиугольник, выпуклый и невыпуклый шестиугольник:
Шестиугольник – это многоугольник с шестью углами.
Шестиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно шести.
Шестиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.
Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.
Соответственно выпуклый шестиугольник – это шестиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Рис. 1. Выпуклый шестиугольник
Рис. 2. Невыпуклый шестиугольник
Сумма внутренних углов любого выпуклого шестиугольника равна 720°.
.
Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность
Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).
Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):
Площадь правильного 6-угольника
Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.
Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.
Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.
Другие способы нахождения площади неправильного шестиугольника
Первый вариант
Инструментарий достаточно простой. Понадобятся всего лишь циркуль и линейка. Вычислять периметр гексагона нужно следующим образом: измерить линейкой длину каждой из 6 сторон и сложить полученные значения. Все измерения длин сторон должны иметь единую систему единиц, тогда достаточно будет сложить числовые значения. То есть, единица измерения параметра шестиугольника совпадет с аналогичными параметрами длин отрезков.
Например, имеются следующие отрезки: 2 сантиметра, 5,4,3,2 и 1 миллиметр. В этом случае нужно перевести 2 сантиметра в миллиметры из расчета 1 сантиметр равняется 10 миллиметрам и суммируете P=20+5+4+3+2+1=35 миллиметров. Таким образом рассчитывается периметр большинства видов шестиугольников.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых: