Геометрия и топология что это
Геометрия и топология что это
Документальные учебные фильмы. Серия «Геометрия».
Аксиоматика топологии построена на принципах теории множеств, но ведущую роль в исследованиях по современной топологии играют прежде алгебраические и геометрические методы. Объектами исследования топологии является топологические пространства, общее обобщения таких структур как граф, поверхность в трехмерном пространстве и множество Кантора, и отображения между ними. При этом исследуются свойства топологических пространств как в малом (локальные), так и в целом (глобальные). Среди различных направлений топологии отметим приближенную к теории множеств общую топологию, которая изучает такие общие свойства абстрактных топологических пространств как компактность или связность, и алгебраическую топологию, которая пытается описать топологические пространства с помощью их алгебраических инвариантов, например чисел Бетти и фундаментальной группы. Геометрическая топология изучает топологические пространства геометрического происхождения, в частности узлы в трехмерном евклидовом пространстве и трехмерные многообразия. Геометрической топологии принадлежит одна из крупнейших и известнейших математических проблем, гипотеза Пуанкаре, которую наконец ( 2003 г.) доказал российский математик Григорий Перельман.
Наряду с алгеброй и геометрией, топологические методы широко используются в функциональном анализе, теории динамических систем и современной математической физике.
Термин топология используется для обозначения как математической дисциплины, так и для определенной математической структуры, смотри топологическое пространство.
Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром. Интуитивна ясно, что высказывания о геометрических свойствах фигур не вполне исчерпываются сведениями об их «метрических» свойствах (размерах, углах и т. д.). Остается еще «кое-что» за пределами старой геометрии. Какой бы длинной ни была линия (веревка, провод, длинная молекула), она может быть замкнутой или нет; если линия замкнута, то она может сложным образом «заузляться». Две (или более) замкнутые линии могут «зацепляться» одна с другой и притом различными способами. Тела, их поверхности, могут иметь «дырки». Эти свойства тел характеризуются тем, что они не меняются при деформациях, допускающих любые растяжения без разрывов. Такие свойства и называются топологическими. Кроме элементарных геометрических фигур, топологическими свойствами обладают многие чисто математические объекты, и именно это определяет их важность.
Однако легче подметить существование топологических свойств фигур, чем создать их «исчисление», т. е. раздел математики, обладающий точными понятиями, строгими законами и методами, математическими формулами, изображающими тонпологические величины.
Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены еще Эйлером, Гауссом и Риманом. Тем не менее, без преувеличения можно сказать, что топология как раздел науки основана в конце XIX века А. Пуанкаре. Процесс построения топологии и решения ее внутренних задач оказался трудным и длительным: он продолжался не менее 70—80 лет, наполненных глубокими открытиями и, в ряде случаев, даже пересмотром основ. В нем принял участие ряд наиболее выдающихся математиков своего времени). На протяжении многих лет, приблизительно до конца 50-х годов,, топология рассматривалась даже математиками других областей как красивая, но бесполезная игрушка.
Однако лишь с начала 70-х годов началось интенсивное проникновение методов топологии в аппарат современной физики. Сейчас важность топологических методов для различных разделов физики уже не вызывает сомнений — для теории поля и общей теории относительности, физики анизотропных сплошных сред и низких температур, современной квантовой теории и т. д. Это приводит к необходимости появления достаточно элементарных популярных книг по топологии и ее приложениям, доступных (хотя бы частично) для школьников старших классов и студентов младших курсов с естественнонаучными и техническими интересами.
Геометрия и топология что это
Геометрия и топология
Исторически геометрия изучает форму и взаимное расположение предметов в евклидовом пространстве. В современной геометрии понятие «пространства» значительно шире и означает множество, снабжённое той или иной специальной структурой — например, проективное пространство, риманово пространство, топологическое пространство. Изучение простейшей весьма общей структуры, позволяющей говорить о непрерывности, привело к выделению из геометрии большой самостоятельной части математики — топологии.
Дифференциальная и метрическая геометрия
Классическая дифференциальная геометрия изучает гладкие геометрические объекты (например, римановы многообразия), наиболее интересными в ней являются связи между «микроскопическими» свойствами пространств и их глобальным строением. Метрическая геометрия — собирательное название нескольких направлений, изучающих негладкие пространства с более «грубыми» структурами (например, метрические пространства), геометрия которых в том или ином смысле похожа на классические пространства. Сюда относятся пространства Александрова, гиперболические группы и другие классы пространств.
В данном направлении работают С.В. Иванов и Н.Д. Лебедева.
Конфигурационные пространства и пространства модулей
Конфигурационные пространства и пространства модулей возникают в математике в самых разных задачах. Традиционно (и заслуженно) интересны пространства модулей алгебраических кривых с отмеченными точками, пространства Тейхмюллера, конфигурационные пространства шарнирных механизмов, конфигурационные пространства выпуклых многогранников и точечных конфигураций и др. Имеется ряд открытых разнообразных задач: об универсальности конфигурационных пространств, о вычислении (ко)гомологий, о нахождении экстремальных конфигураций, о клеточных (или симплициальных) моделях. Тема является наукоемкой: для занятий ею приветствуются знания гиперболической геометрии, алгебраической топологии (необходимо), теории Морса, алгебраической геометрии.
Топология многообразий
Топология многообразий малой размерности занимает особое место в современной геометрии и топологии. Это вызвано тем, что большинство мощных методов многомерной топологии не работают в размерностях 3 и 4. Вопросы классификационного характера являются стержневыми для геометрической топологии. Существенная часть исследований в трехмерной топологии XX в. была мотивирована, прямо или косвенно, стремлением решить именно классификационные проблемы, к которым относятся, в частности, доказанные Перельманом гипотеза Пуанкаре и геометризационная гипотеза Терстона. Достигнутый за последние годы серьезный прогресс в данной проблематике тем не менее оставляет открытыми многие классические вопросы, сохраняющие свою актуальность.
В данном направлении работают Е.А. Фоминых и А.В. Малютин.
Теория узлов
Узлы — это гладкие вложения окружности (одномерной сферы) в трехмерную сферу. Теория узлов имеет богатейшую историю и применяется во многих областях математики, в криптографии, физике, химии, биологии. К примеру, с помощью узлов можно описать любое трехмерное многообразие или изучать квантовую теорию поля, а заузленность молекулы полимера может влиять на ее свойства. Сверхзадача теории – задача эффективной классификации и распознавания узлов — до сих пор не получила удовлетворительного решения. Поиски этого решения с рекордной частотой приводят к революционным открытиям (гиперболические узлы и терстоновская классификация, полиномиальные инварианты, инварианты конечной степени и т.д.), но главные вершины, по-видимому, еще не покорены.
В данном направлении работают А.В. Малютин и Е.А. Фоминых.
Дифференциальная геометрия и топология
Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна) которые могут различаться в точках.
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.
Дифференциальные геометрия и топология
Дифференциальные геометрия и топология
Дифференциа́льная геоме́трия и дифференциальная тополо́гия — два смежных раздела математики, которые изучают гладкие многообразия (обычно с дополнительными структурами). Эти два раздела математики почти неразделимы, при этом часто оба раздела называют дифференциальной геометрией. Они находят множество применений в физике, особенно в общей теории относительности.
Различие между этими разделами состоит в наличии или отсутствии локальных инвариантов. В дифференциальной топологии рассматриваются такие структуры на многообразиях, что у любой пары точек можно найти идентичные окрестности, тогда как в дифференциальной геометрии, вообще говоря, могут присутствовать локальные инварианты (такие как кривизна) которые могут различаться в точках.
История
Дифференциальная геометрия возникла и развивалась в тесной связи с математическим анализом, который сам в значительной степени вырос из задач геометрии. Многие геометрические понятия предшествовали соответствующим понятиям анализа. Так, например, понятие касательной предшествовало понятию производной, понятие площади и объема — понятию интеграла.
Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Эйлера и Монжа. Первое сводное сочинение по теории поверхностей написано Монжем («Приложение анализа к геометрии», 1795). В 1827 Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», в которой заложил основы теории поверхностей в её современном виде. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.
Огромную роль в развитии всей геометрии, в том числе и дифференциальной геометрии, сыграло открытие неевклидовой геометрии. Риман в своей лекции «О гипотезах, лежащих в основаниях геометрии» (1854) заложил основы римановой геометрии, наиболее развитой части современной дифференциальной геометрии.
Теоретико-групповая точка зрения Клейна, изложенная в его «Эрлангенской программе» (1872), то есть: геометрия — учение об инвариантах групп преобразований, в применении к дифференциальной геометрии была развита Картаном, который построил теорию пространств проективной связности и аффинной связности.
Дифференциальная топология является гораздо более молодым разделом математики, он начинает развиваться только в начале XX века.
Топология
Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость. В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.
Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.
Содержание
История
Раздел математики, который мы теперь называем топологией, берет свое начало с изучения некоторых задач геометрии. Различные источники находят первые топологические по духу результаты в работах Ньютона, Эйлера, Жордана, Кантора, Пуанкаре.
Когда топология еще только зарождалась (конец XIX века), ее называли геометрия размещения (лат. geometria situs ) или анализ размещения (лат. analysis situs ). Приблизительно с 1925 по 1975 годы топология являлась сильно развивающейся отраслью в математике.
Общая топология зародилась в конце XIX в. и оформилась в самостоятельную математическую науку в начале XX в. Основополагающие работы принадлежат Хаусдорфу, Пуанкаре, Александрову, Урысону, Брауэру.
Разделы топологии
Общая топология
Общая топология, или теоретико-множественная топология — раздел топологии, в котором изучается понятие непрерывности в чистом виде. Здесь исследуются фундаментальные вопросы топологии, а также отдельные вопросы, такие как связность и компактность.
Алгебраическая топология
Алгебраическая топология — раздел, в котором происходит изучение непрерывности с использованием алгебраических объектов, вроде гомотопических групп и гомологий.
Дифференциальная топология
Дифференциальная топология — раздел, где главным образом изучаются гладкие многообразия с точностью до диффеоморфизма и их включения (размещения) в другие многообразия. Этот раздел включает в себя маломерную топологию, в том числе теорию узлов.
Вычислительная топология
Вычислительная топология — раздел, находящийся на пересечении топологии, вычислительной геометрии и теории вычислительной сложности. Занимается созданием эффективных алгоритмов для решения топологических проблем и применением топологических методов для решения алгоритмических проблем, возникающих в других областях науки.
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Топология» в других словарях:
топология — топология … Орфографический словарь-справочник
топология — Физическое или логическое распределение узлов сети. Физическая топология определяет физические связи (каналы) между узлами. Логическая топология описывает возможные соединения между сетевыми узлами. В локальных сетях наиболее распространены три… … Справочник технического переводчика
ТОПОЛОГИЯ — в широком смысле область математики, изучающая топологич. свойства разл. матем. и физ. объектов. Интуитивно, к топологич. относятся качественные, устойчивые свойства, не меняющиеся при деформациях. Матем. формализация идеи о топологич. свойствах… … Физическая энциклопедия
ТОПОЛОГИЯ — ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при любой деформации сдавливании, растягивании, скручивании (но без разрывов и склеиваний). Чашка с ручкой топологически эквивалентна бублику; куб,… … Научно-технический энциклопедический словарь
ТОПОЛОГИЯ — ТОПОЛОГИЯ, топологии, мн. нет, жен. (от греч. topos место и logos учение) (мат.). Часть геометрии, исследующая качественные свойства фигур (т.е. не зависящие от таких понятий, как длина, величина углов, прямолинейность и т.п.). Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова
топология — сущ., кол во синонимов: 1 • математика (29) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
Топология — Topology раздел математики, изучающий свойства геометрических фигур, которые не изменяются при деформациях, происходящих без разрывов. Словарь бизнес терминов. Академик.ру. 2001 … Словарь бизнес-терминов
топология ИС — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN integrated circuit layout … Справочник технического переводчика