Говоря о векторах и их координатах можно утверждать что величины проекций

Вектор. Виды векторов.

Вектор — в самом элементарном случае это математический объект, который характеризуется

величиной и направлением.

В геометрии вектор — направленный отрезок прямой, то есть отрезок, для которого указано, какая

из его граничных точек является началом, а какая — концом.

У вектора есть длина и определенное направление. Графически вектора изображаются как

направленные отрезки прямой конкретной длины. Длина вектора – это и есть длина этого отрезка.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии по обоим сторонам: |AB|.

Как видно на рисунке, начало отрезка – это точка А, концом отрезка является

точка В, а непосредственно вектор обозначен через . У направления

вектора существенное значение, если переместить стрелку на другую

сторону отрезка, то получим вектор, но абсолютно другой. Понятие вектора

удобно сравнивать с движением физического тела: подумайте, ехать на

рыбалку и с рыбалки – разница огромная.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не имеет значения — так как направления их могут быть

разными. Сравнивают лишь длины векторов. Зато есть понятие равенства для векторов.

Виды векторов.

Единичным называется вектор, длина которого равна 1.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором.

У такого вектора конец и начало совпадают.

Нулевой вектор обычно обозначается как . Длина нулевого вектора, или его модуль равен нулю.

Коллинеарные вектора – вектора, которые параллельны одной прямой

или которые лежат на одной прямой.

Сонаправленные вектора. Два коллинеарных вектора a и b называются

сонаправленными векторами только тогда, когда их направления

соответствуют друг другу: a↑↑b

Противоположно направленные вектора – два коллинеарных вектора

a и b называются противоположно направленными векторами, только

когда они направлены в разные стороны: a↑↓b.

Компланарные вектора – это те вектора, которые параллельны одной

плоскости или те, которые лежат на общей плоскости.

В любое мгновение существует плоскость одновременно параллельную

двум любым векторам, поэтому два произвольных вектора являются

Равные вектора. Вектора a и b будут равными, если они будут лежать на

одной либо параллельных прямых и их направления и длины одинаковые.

То есть, такой вектор можно перенести параллельно ему в каждое место

Таким образом, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые

и имеют одинаковые длины:

Для координатного представления векторов огромное значение

оказывает понятие проекции вектора на ось (направленную

прямую).

проекциями точек начала и конца вектора на заданную прямую,

при этом проекции добавляется знак “+”, но когда направление

проекции соответственно направлению оси, иначе — знак “–”.

Проекция – это длина заданного вектора, умноженная на cos угла исходного вектора и оси; проекция

вектора на ось, которая перпендикулярна ему = 0.

Когда работают с векторами, зачастую вводят так называемую

декартову систему координат и уже в этой системе находят

координаты вектора по базисным векторам.

Разложение по базису геометрически можно показать проекцией

вектора на координатные оси. Когда известны координаты начала и

конца вектора, то координаты данного вектора получают вычитая

из координат конца вектора координат начала вектора.

За базис зачастую выбираются координатные орты, которые обозначаются как , соответственно

осям x, y, z. Исходя из этого, вектор можно записать в таком виде:

Каждое геометрическое свойство есть возможность записать в координатах, и далее исследование

из геометрического переходит в алгебраическое и на этом этапе в основном упрощается. Обратное,

кстати, неверно: не у любого соотношения в координатах есть геометрическое толкование, но только

те соотношения, которые выполняются в любой декартовой системе координат (инвариантные).

Источник

Векторный метод в школьном курсе геометрии

Разделы: Математика

Традиционно одной из самых сложных тем школьного курса геометрии является тема “Векторный метод в решении задач”. В то же время понятие вектора является одним из фундаментальных понятий современной математики. Конец XIX и начало XX столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Будучи материалом математическим, векторный аппарат находит широкое применение в первую очередь в физике и других прикладных науках. Векторный метод является одним из широко употребляемых, красивых и современных методов решения задач, особенно в сочетании с координатным методом.

В данной работе рассмотрены основные свойства векторов, которые следует отнести к векторной алгебре. Приведена классификация задач и приемов их решения с использованием векторного метода.

Целью статьи является не столько пересказ учебного материала, отраженного во всех школьных учебниках геометрии, сколько акцентуация внимания на некоторых вопросах, которые вызывают наибольшую методическую трудность, вопросах, активизирующих мыслительную деятельность обучающихся, могущих послужить основой для небольших учебных исследований.

Термин вектор употребляют в геометрии по крайней мере в двух смыслах. С одной стороны, вектором называют направленный отрезок, с другой стороны, вектор понимают так, как понимают в физике “векторные величины”. Различают соответственно “конкретный вектор” – направленный отрезок и “абстрактный (или, как принято говорить, свободный) вектор”.

Направленным отрезком называют отрезок, у которого указан порядок концов, т.е. один конец назван началом, а другой конец – концом этого отрезка. Направленный отрезок называют вектором. Вообще, вместо векторов – направленных отрезков часто рассматривают “векторы” – упорядоченные пары точек: одна точка начало, другая – конец, не исключая их совпадения.

Свободным вектором (или просто вектором) называется абстрактный объект, связанный с равными направленными отрезками тем, что каждый из равных направленных отрезков считается представителем данного свободного вектора, а неравные направленные отрезки представляют собой неравные свободные векторы. Так понимаемый вектор называется свободным потому, что он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки он отложен. Равные направленные отрезки и представляют один и тот же вектор.

В частности, все нуль–векторы представляют один и тот же нуль–вектор, который обозначается .

Вектор характеризуется направлением и длиной (модулем). Задать вектор, – значит, задать направление и длину. Длина нуль–вектора равна 0, а направления он не имеет. Изображается нуль вектор любой точкой, которая рассматривается, как его начало и конец. Считается, что нулевой вектор параллелен и перпендикулярен любому вектору.

2. ОСНОВНЫЕ ОТНОШЕНИЯ И СВОЙСТВА.

Равные и коллинеарные векторы

Свойства векторов полезно рассматривать в аналогии со свойствами скалярных величин. Например, свойства равных векторов в аналогии со скалярными величинами представлены в следующей таблице:

скаляры а=арефлексивностьa=bb=aсимметричность, a=b, b=c a=cтранзитивность

Общеизвестно следующее свойство равных веторов: если четырехугольник ABCD – параллелограмм, то .

Введя этот признак, можно озадачить учащихся такими вопросами:

1. О равенстве каких еще векторов, можно говорить применительно к параллелограмму ABСD?
2. Можно ли утверждать, что при наличии пары равных векторов можно получить и другую пару также равных векторов?
3. Можно ли найти равные векторы в каких–либо пространственных телах (например, в параллелепипеде, призме)?

И еще одно свойство: от любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один (сравните со свойствами параллельных прямых).

Задача. Как видно из свойств равных векторов, любые два вектора, равных между собой, но не лежащих на одной прямой, принадлежат некоторому параллелограмму. Что можно сказать о векторах, составляющих основания трапеции? Что можно сказать о векторах, принадлежащих основаниям усеченной призмы?

Учащиеся должны продемонстрировать понимание разницы между равными векторами и коллинеарными. К тому же необходимо “увидеть” не только сонаправленные, но и противоположные векторы.

Сумма векторов. Умножение вектора на число.

Рассмотрим свойства суммы также в аналогии со скалярами:

Весьма полезно после этого разобрать, какие из рассмотренных свойств имеют аналогию со свойствами произведения скалярных величин, а какие – нет.

Координаты вектора. Скалярное произведение.

Проекцией v_x вектора на ось х называется длина его составляющей по этой оси, взятая со знаком “+”, если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком “–” в противном случае. Заметим, что проекция вектора на ось равна длине этого вектора умноженной на косинус угла между вектором и осью.

При разложении вектора на составляющие вдоль осей координат в декартовой системе координат вводится понятие координат вектора как коэффициентов разложения: если то вектор имеет координаты . При этом длина вектора равна

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их абсолютных величин на косинус угла между ними: .

В декартовой системе координат скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат векторов: Весьма полезным при изучении данной темы может оказаться рассмотрение аналогичных определений в трехмерной модели пространства:

3. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОТРАБОТКИ ПОНЯТИЙНОГО АППАРАТА И ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ С ВЕКТОРАМИ.

4. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ

Векторный аппарат используется при доказательстве некоторых теорем и решении многих задач. Сила векторного метода заключается в том, что он позволяет легко делать обобщения, роль которых в математике трудно переоценить. Хотя следует иметь в виду, что векторный метод не является универсальным и к решению некоторых задач может быть неприменим или малоэффективен.

После изучения основных понятий и фактов, целесообразно провести обобщающий урок, результатом которого должна стать следующая таблица, используемая в дальнейшем при решении задач более высокого уровня.

Ключом к решению задач указанных типов является приведенная выше таблица.

5. КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ, СПОСОБСТВУЮЩИЕ ФОРМИРОВАНИЮ УМЕНИЯ ИСПОЛЬЗОВАТЬ ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД.

1) Отрезки АВ и СD параллельны. Записать это соотношение в векторной форме.
2) Точка С принадлежит отрезку АВ и АВ:ВС=m:n. Что означает это на векторном языке?

7.8. Докажите.

Задачи указанных типов формируют умения и навыки, являющиеся компонентами векторного метода решения задач. В процессе решения этих задач вырабатываются критерии использования векторов для доказательства различных зависимостей. Приведем несколько примеров задач, при решении которых использован векторный метод.

Источник

Говоря о векторах и их координатах можно утверждать что величины проекций

Сформулируем ряд базовых определений.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны.

то есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.

Обозначим углы между вектором и осями координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение: Верность данного равенства можно показать с помощью свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем пункте 4.

Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими координатами. Имеют место следующие операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).

1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то есть если

Геометрически два вектора складываются по двум правилам:

а) правило треугольника – результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого вектора; для суммы векторов – результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с концом предыдущего;

б) правило параллелограмма (для двух векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах, приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой векторов.

Геометрически два вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.

При λ>0 – вектор сонаправлен ; λ противоположно направлен ; | λ|> 1 – длина вектора увеличивается в λ раз; | λ| 1 – длина вектора уменьшается в λ раз.

4. Пусть в пространстве задана направленная прямая (ось l ), вектор задан координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l соответственно через A ’ и B ’.

Рассмотрим некоторые основные свойства проекций:

1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля вектора на косинус угла между вектором и осью, то есть ;

2.) проекция вектора на ось положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и равна нулю, если этот угол – прямой;

3) проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.

Сформулируем определения и теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над векторами.

5. Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними, то есть

Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения

Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов и :

С помощью скалярного произведения векторов находят работу постоянной силы на прямолинейном участке пути.

Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение по теореме (2.3):

Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).

Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной тонны творога?

Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10, можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений которых необходимо найти. В MathCAD скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего оператора панели инструментов Matrix

Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты начала

Угол φ между и находим по формуле (2.29), то есть

– перпендикулярен векторам и ;

– векторы образуют правую тройку (рис. 2.15).

Примечание. Определитель (2.25) раскладывается по свойству 7 определителей

Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их соответствующих координат

Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны

Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю

Также с помощью векторного произведения можно определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.

— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O , A , B ;

Следовательно, момент силы относительно точки O представляет собой векторное произведение

Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по формуле (2.32).

Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения

Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из координат векторов- сомножителей соответственно, то есть

Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же векторах, равен

Решение. Найдем координаты векторов

По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на векторах равен (единиц объема)

Рассмотрим очень важный вопрос о разложении вектора по базису. Приведем следующие определения.

получим выражение вектора через остальные векторы

Линейно независимыми называют векторы, если равенство (2.37) выполняется только тогда, когда все

Базисом n – мерного пространства E_n называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.

Произвольный вектор n – мерного пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса таким образом:

Линейное пространство называется конечномерным и имеет размерность n , если в этом пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая, что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.

Источник