График линейной функции параллелен прямой отметьте чему могут равняться коэффициенты и

График линейной функции, его свойства и формулы

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Свойства линейной функции

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /₃x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Источник

Линейная функция « y = kx + b » и её график

Прежде чем перейти к изучению функции « y = kx » внимательно изучите урок
«Что такое функция в математике» и «Как решать задачи на функцию».

Функцию вида « y = kx + b » называют линейной функцией.

Вместо « k » и « b » могут стоять любые числа (положительные, отрицательные или дроби).

Другими словами, можно сказать, что « y = kx + b » — это семейство всевозможных функций, где вместо « k » и « b » стоят числа.

Примеры функций типа « y = kx + b ».

Обратите особое внимание на функцию « y = 0,5x » в таблице. Часто совершают ошибку при поиске в ней числового коэффициента « b ».

Рассматривая функцию « y = 0,5x », неверно утверждать, что числового коэффициента « b » в функции нет.

Как построить график линейной функции
« y = kx + b »

Из геометрии вспомним аксиому (утверждение, которое не требует доказательств), что через любые две точки можно провести прямую и притом только одну.

Исходя из аксиомы выше следует, что чтобы построить график функции вида
« у = kx + b » нам достаточно будет найти всего две точки.

Для примера построим график функции « y = −2x + 1 ».

Найдем значение функции « y » для двух произвольных значений « x ». Подставим, например, вместо « x » числа « 0 » и « 1 ».

Выбирая произвольные числовые значения вместо « x », лучше брать числа « 0 » и « 1 ». С этими числами легко выполнять расчеты.

Полученные значения « x » и « y » — это координаты точек графика функции.

Запишем полученные координаты точек « y = −2x + 1 » в таблицу.

Отметим полученные точки на системе координат.

Теперь проведем прямую через отмеченные точки. Эта прямая будет являться графиком функции « y = −2x + 1 ».

Как решать задачи на
линейную функцию « y = kx + b »

Построить график функции « y = 2x + 3 ». Найти по графику:

Вначале построим график функции « y = 2x + 3 ».

Используем правила, по которым мы строили график функции выше. Для построения графика функции « y = 2x + 3 » достаточно найти всего две точки.

Выберем два произвольных числовых значения для « x ». Для удобства расчетов выберем числа « 0 » и « 1 ».

Выполним расчеты и запишем их результаты в таблицу.

Отметим полученные точки на прямоугольной системе координат.

Соединим полученные точки прямой. Проведенная прямая будет являться графиком функции « y = 2x + 3 ».

Теперь работаем с построенным графиком функции « y = 2x + 3 ».

Тему «Как получить координаты точки функции» с графика функции мы уже подробно рассматривали в уроке «Как решать задачи на функцию».

В этому уроке для решения задачи выше вспомним только основные моменты.

Чтобы найти значение « y » по известному значению « x » на графике функции необходимо:

Запишем полученные результаты в таблицу.

Запишем полученные результаты в таблицу.

Как проверить, проходит ли график через точку

Рассмотрим другое задание.

Чтобы проверить принадлежность точки графику функции нет необходимости строить график функции.

Достаточно подставить координаты точки в формулу функции (координату по оси « Ox » вместо « x », а координату по оси « Oy » вместо « y ») и выполнить арифметические расчеты.

−2 = 2 · 1 −

−2 = 2 −

−2 = 1

−

−2 = 1

(неверно)

Как найти точки пересечения графика с осями

Найти координаты точек пересечения графика функции « y = −1,5x + 3 » с осями координат.

Для начала построим график функции « y = −1,5x + 3 » и на графике отметим точки пересечения с осями.

Для построения графика функции найдем координаты двух точек
функции « y = −1,5x + 3 ».

Отметим полученные точки на системе координат и проведем через них прямую. Тем самым мы построим график функции « y = −1,5x + 3 ».

Теперь найдем координаты точек пересечения графика функции с осями по формуле функции.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Oy » (осью ординат) нужно:

Подставим вместо « x » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы найти координаты точки пересечения графика функции
с осью « Ox » (осью абсцисс) нужно:

Подставим вместо « y » в формулу функции « y = −1,5x + 3 » число ноль.

Чтобы было проще запомнить, какую координату точки нужно приравнивать к нулю, запомните «правило противоположности».

Источник

Линейная функция, ее свойства и график

теория по математике 📈 функции

Функция, заданная формулой y=kx+b, где х – переменная, k и b – некоторые числа, называется линейной функцией. Переменную х называют независимой переменной, переменную у – зависимой переменной.

Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно взять два значения х, чтобы получить два значения у и, соответственно, две точки, через которые проходит единственная прямая.

Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Свойства линейной функции

Рассмотрим на примерах расположение прямых в координатной плоскости в зависимости от значения чисел k и b.

Пример №1

Построить график функции у=2х – 1. Для того, чтобы удобнее было выполнять вычисления, построение и т.д. сделаем таблицу для значений х и у:

Для построения графика подбираем два значения х, одно из них желательно брать равное нулю, второе, например 3 (подбираем небольшие числа).

Теперь подставляем значения х в формулу и вычисляем соответствующие значения у:

Вписываем в таблицу значения у:

Теперь строим систему координат, отмечаем в ней точки с координатами А(0; –1) и В(3;5),

Итак, по формуле мы видим, что угловой коэффициент — положительный, значит, график – возрастает, что мы и видим на нашем графике.

Пример №2.

Построить график функции у= –3х+4. Итак, делаем таблицу на два значения, например, возьмем 0 и 2.

По формуле видим, что угловой коэффициент отрицательный, значит, прямая будет убывать. Строим убывающую прямую в системе координат через две точки А(0;4) и В(2; –2).

Пример №3

Построить график функции у=4. Видим, что в данном случае число х=0, значит, прямая будет проходить через точку с координатой (0;4) параллельно оси х. На графике это выглядит следующим образом:

Построить график функции у=3х. Данная функция является частным случаем, когда прямая проходит через начало координат. Поэтому в данном случае можно взять устно одно значение х, например 2, тогда у получим равный 6. Таким образом, имеем две точки (2;6) и (0;0). Строим их в системе координат и проводим через них прямую, которая будет возрастать, так как угловой коэффициент равен 3, т.е. положительный.

На рисунках изображены графики функций вида y=kx+b. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ассмотрим коэффициенты под №3. Если k 90 0 ) угол с положит.направлением оси абсцисс (Ох). Если b 0. Это соответствует оставшимся графикам А и Б, т.к. они оба наклонены к положительно направлению оси Оx под острым углом ( 0 ). Следовательно, выбор соответствия должен быть выполнен по коэффициенту b.

В 1-й паре коэффициентов b 0, что соответствует графику А, который пересекает ось Оу выше начала координат. Это подтверждает, что и оставшаяся пара А–2 тоже верна.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

Функция представляет собой линейную зависимость, а именно уравнение первого порядка вида:

График данной функции зависит от k и b.

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Источник

Взаимное расположение графиков линейных функций

Урок 17. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Взаимное расположение графиков линейных функций»

· рассмотреть угловой коэффициент линейной функции;

· выяснить, как зависит взаимное расположение графиков функций от значений угловых коэффициентов.

На прошлом уроке мы познакомились с линейной функцией:

На этом уроке мы выясним, как зависит расположение графиков линейных функции от значений коэффициентов k и b.

Рассмотрим функции и построим их графики:

У рассматриваемых функций коэффициенты k равны, а коэффициенты b не равны.

Все прямые по построению параллельны, а также они наклонены к оси икс под одинаковым углом. Этот угол зависит от значения числа k, которое называют угловым коэффициентом графика линейной функции.

Давайте построим графики функций:

У данных функций угловые коэффициенты различны. При этом у первой функции коэффициент k отрицателен и график этой функции образует с осью икс тупой угол. А у второй функции угловой коэффициент положителен и график образует с осью икс острый угол.

Обратите внимание, что в отличие от предыдущего примера, где угловые коэффициенты равны и прямые параллельны, здесь графики функций пересекаются.

Таким образом, можем сделать вывод.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

В системе координат, в которой мы с вами строили графики функций, в качестве координатных осей берутся прямые, которые перпендикулярны друг к другу, поэтому её называют прямоугольной.

Такая система координат была введена знаменитым французским учёным Рене Декартом. И в его честь её так же называют декартовой.

Источник

Взаимное расположение графиков линейных функций

Урок 17. Алгебра 7 класс

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Взаимное расположение графиков линейных функций»

· рассмотреть угловой коэффициент линейной функции;

· выяснить, как зависит взаимное расположение графиков функций от значений угловых коэффициентов.

На прошлом уроке мы познакомились с линейной функцией:

На этом уроке мы выясним, как зависит расположение графиков линейных функции от значений коэффициентов k и b.

Рассмотрим функции и построим их графики:

У рассматриваемых функций коэффициенты k равны, а коэффициенты b не равны.

Все прямые по построению параллельны, а также они наклонены к оси икс под одинаковым углом. Этот угол зависит от значения числа k, которое называют угловым коэффициентом графика линейной функции.

Давайте построим графики функций:

У данных функций угловые коэффициенты различны. При этом у первой функции коэффициент k отрицателен и график этой функции образует с осью икс тупой угол. А у второй функции угловой коэффициент положителен и график образует с осью икс острый угол.

Обратите внимание, что в отличие от предыдущего примера, где угловые коэффициенты равны и прямые параллельны, здесь графики функций пересекаются.

Таким образом, можем сделать вывод.

Если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

В системе координат, в которой мы с вами строили графики функций, в качестве координатных осей берутся прямые, которые перпендикулярны друг к другу, поэтому её называют прямоугольной.

Такая система координат была введена знаменитым французским учёным Рене Декартом. И в его честь её так же называют декартовой.

Источник