можно ли на плоскости отметить 6 точек и соединить их отрезками так чтобы

Помогите решить Можно расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками без самопересечений так, чтобы каждая точка была соединена ровно с тремя другими точками?

Помогите решить Можно расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками без самопересечений так, чтобы каждая точка была соединена ровно с тремя другими точками.

Хитраязадача, пришлось поломать голову.

Маша отметила в тетради 5 точек и соединила их отрезками проводя по одному отрезку через каждые 2 точки?

Маша отметила в тетради 5 точек и соединила их отрезками проводя по одному отрезку через каждые 2 точки.

Сколько всего отрезков получилось.

Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы концом ровно четырѐх отрезков?

Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы концом ровно четырѐх отрезков.

Маша отметила в тетради 5 точек и соединила их отрезками проводя по одному отрезку через каждые 2 точки?

Маша отметила в тетради 5 точек и соединила их отрезками проводя по одному отрезку через каждые 2 точки.

Сколько всего отрезков получилось.

На плоскости расположены 2003 точки, никакие из которых не лежат на одной прямой?

На плоскости расположены 2003 точки, никакие из которых не лежат на одной прямой.

Каждые 2 точки соединили отрезком.

Можно ли эти отрезки раскрасить в 2002 цвета так, чтобы из любой точки выходили отрезки всех цветов?

Можно ли на плоскости отметить 10 точек и соединить их отрезками так чтобы каждая точка была соединена ровно с четырьмя другими?

Можно ли на плоскости отметить 10 точек и соединить их отрезками так чтобы каждая точка была соединена ровно с четырьмя другими.

На плоскости нарисовали 18 точек?

На плоскости нарисовали 18 точек.

Каждую точку соединили с десятью другими.

Сколько всего отрезков провелиСРОЧНООООООО.

Запишите получившиеся отрезки.

Построй точки симметричные данным относительно данной прямой соедини все точки замкнутой ломаной линией без самопересечений?

Построй точки симметричные данным относительно данной прямой соедини все точки замкнутой ломаной линией без самопересечений.

На окружности отметили 6 точек?

На окружности отметили 6 точек.

Сколько получится отрезков, если соединить каждую точку с каждой.

Помогите решить Можно расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками без самопересечений так, чтобы каждая точка была соединена ровно с тремя другими точками?

Помогите решить Можно расположить на плоскости шесть точек и соединить их отрезками без самопересечений так, чтобы каждая точка была соединена ровно с тремя другими точками.

Периметр прямоугольника : Р = 2 * (а + в), Р = 2 * (60 + 2) = 2 * 62 = 124 дм = 1м 24дм (или 1, 24м).

5 кульков = 15 кг 15 : 5 = 1 кулёк 24 : 3 = 8 кульков.

5 кульков = 15кг 1 кулек = 15 / 5 = 3кг 24кг = 24 / 3 = 8 кульков.

1)16 + 14 = 30(мяч. ) упакуют оба автамата вместе за 20 минут. 2)30•2 = 60(мяч. ) упакуют оба автомата вместе за 40 минут. Ответ : 60 мечей.

16 * 2 + 14 * 2 = 32 + 28 = 60 мячей.

10 + 2 = 12 42 + 2 = 36 200 + 12 = 0 51 + 65 = 36 это легко.

Найден 10% от 40 руб : х = (40×10) / 100 = 4 рубля, значит тетрадь теперь стоит 36 руб. Тогда на 750 руб можно купить : 750÷36 = 20 т ( остаток 30 руб) Ответ : 20 тетрадок.

Источник

Геометрические конструкции

На рисунке изображены 10 точек и соединяющие их отрезки. Покрасьте три точки так, чтобы отрезков, которые соединяют две непокрашенных точки, было в два раза меньше, чем отрезков, соединяющих покрашенную и непокрашенную точки. (Устинов)

Ответ. Например вот так:

Дан куб, составленный из 27 кубиков размером . Можно ли его разделить на уголки, составленные из 3 кубиков?

нижний слой средний слой верхний слой

Одинаковыми цифрами обозначены кубики одного уголка.

Дан квадрат , из которого вырезаны 4 угловые клетки. В получившейся фигуре разместили 8 точек следующим образом:

Заполните эту фигуру уголками

так, что точки принадлежали большим уголкам.

Можно ли поверхность куба оклеить в один слой без наложений и пропусков шестью равными равнобедренными треугольниками?

Одинаковыми цифрами обозначены части одного треугольника.

Нарисуйте на плоскости 8 точек и соедините их непересекающимися отрезками так, чтобы из каждой точки выходило ровно 4 отрезка.(Московские регаты)

Можно ли расположить на плоскости (но не на одной прямой!) пять точек так, чтобы выполнялось условие: «если три точки являются вершинами треугольника, то этот треугольник – прямоугольный»? Ответ объясните. (Московские регаты)

Пример такого расположения – вершины квадрата ABCD и точка О пересечения его диагоналей. Треугольники AOB, BOC, COD, DOA, ABC, ADC, ABD и CBD являются прямоугольными, а тройки точек A, O, C и B, O, D треугольников не образуют.

Из клетчатого листа бумаги по линиям сетки вырезана фигура. Назовем чисткой фигуры удаление всех клеток, имеющих общую сторону или вершину с границей фигуры. Приведите пример фигуры, которая после первой чистки останется единым куском, после второй чистки распадется на 2 части, после третьей чистки распадется на 3 части.

Условию задачи удовлетворяет, например, такая фигура:

На рисунке изображены 12 точек. Покрасьте 7 точек в черный цвет так, чтобы никакие 4 из покрашенных точек не являлись вершинами прямоугольника. (Устинов)

Решение. Например вот так:

Нарисуйте два выпуклых четырехугольника, один внутри другого, так, чтобы любая прямая соединяющая две вершины внутреннего четырехугольника, проходила через какую-либо вершину внешнего четырехугольника.

Отметьте на плоскости 4 точки так, чтобы среди попарных расстояний между ними было ровно два различных.

Ответ. Условию удовлетворяют вершины квадрата.

Выпуклый шестиугольник имеет две пары параллельных сторон. Верно ли, что две оставшиеся стороны этого шестиугольника также параллельны?

Ответ. Нет, неверно, например:

Расположите на плоскости 6 прямых и отметьте на них 7 точек так, чтобы на каждой прямой было отмечено 3 точки.(Московская олимпиада)

Ответ. Например, так:

Отметьте на плоскости 5 точек так, чтобы среди попарных расстояний между ними было ровно два различных.

Ответ. Условию удовлетворяют вершины правильного пятиугольника.

На круглом торте расположены 6 розочек так, как показано на рисунке. Двумя прямолинейными разрезами разрежьте торт на

а) три куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.

б) четыре куска так, чтобы количество розочек на любых двух кусках было различным.

а) б)

Решение. Например, так:

а) б)

Можно ли разрезать трехклеточный уголок на 4 равные части?

Источник

Расположите на плоскости шесть точек и соедините их непересекающимися отрезкамитак, чтобы из каждой точки выходило по четыре отрезка?

Расположите на плоскости шесть точек и соедините их непересекающимися отрезками

так, чтобы из каждой точки выходило по четыре отрезка.

Ну или если удобно можно и с отрезками).

вот решение на картинке :

Отметев тетради пять точек А М К Т и О соедините точку О отрезками с каждой из остальных точек и запишите все получившиеся отрезки измерьте отрезки ОА ОМ ОК и ОТ?

Отметев тетради пять точек А М К Т и О соедините точку О отрезками с каждой из остальных точек и запишите все получившиеся отрезки измерьте отрезки ОА ОМ ОК и ОТ.

Отметьте точки А, М, К, Т, О?

Отметьте точки А, М, К, Т, О.

Соедините точку О отрезками с каждой из остальных точек и запишите все получившиеся отрезки.

На плоскости отмечены 6 точек?

На плоскости отмечены 6 точек.

Каждые две точки соединили отрезком.

Сколько получилось отрезков?

Галя отметила на окружности 6 точек и соединила каждые две точки отрезками?

Галя отметила на окружности 6 точек и соединила каждые две точки отрезками.

Сколько отрезков получилось?

Отметьте в тетради пять точек : А, М, К, Т и О?

Отметьте в тетради пять точек : А, М, К, Т и О.

Соедините точку О отрезками с каждой из остальных точек и запишите все получившиеся отрезки.

Измерьте отрезки ОА, ОМ, ОК и ОТ.

Расположи 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки?

Расположи 10 точек на 5 отрезках так, чтобы на каждом отрезке было по 4 точки.

Отметьте в тетрадей пять точек А, М, К, Т и О?

Отметьте в тетрадей пять точек А, М, К, Т и О.

Соедините точку О отрезка с каждой из остальных точек и запишите все получившие отрезки.

Измерьте отрезки АО, ОМ, ОК и ОТ.

Расположи 10 точек на 5 отрезках так чтобы на каждом отрезке было по 4 точки?

Расположи 10 точек на 5 отрезках так чтобы на каждом отрезке было по 4 точки.

На плоскости отмечены 6 точек?

На плоскости отмечены 6 точек.

Каждые 2 точки соединили отрезком.

Сколько получилось отрезков?

На плоскости нарисовано шесть отрезков, причем никакие два из них не лежат на одной прямой?

На плоскости нарисовано шесть отрезков, причем никакие два из них не лежат на одной прямой.

Отмечены все точки пересечения отрезков.

Оказалось, что каждая отмеченная точка принадлежит ровно двум отрезкам.

Сколько точек отмечено на шестом отрезке.

Периметр прямоугольника : Р = 2 * (а + в), Р = 2 * (60 + 2) = 2 * 62 = 124 дм = 1м 24дм (или 1, 24м).

5 кульков = 15 кг 15 : 5 = 1 кулёк 24 : 3 = 8 кульков.

5 кульков = 15кг 1 кулек = 15 / 5 = 3кг 24кг = 24 / 3 = 8 кульков.

1)16 + 14 = 30(мяч. ) упакуют оба автамата вместе за 20 минут. 2)30•2 = 60(мяч. ) упакуют оба автомата вместе за 40 минут. Ответ : 60 мечей.

16 * 2 + 14 * 2 = 32 + 28 = 60 мячей.

10 + 2 = 12 42 + 2 = 36 200 + 12 = 0 51 + 65 = 36 это легко.

Найден 10% от 40 руб : х = (40×10) / 100 = 4 рубля, значит тетрадь теперь стоит 36 руб. Тогда на 750 руб можно купить : 750÷36 = 20 т ( остаток 30 руб) Ответ : 20 тетрадок.

Источник

XI Республиканская олимпиада имени

XI Республиканская олимпиада

№1. В городе 10 улиц параллельных друг другу и 10 других пересекают их под прямым углом. Какое наименьшее число поворотов может иметь замкнутый маршрут, проходящий через все перекрестки?

№2. После 76 стирок длина, ширина высота куска мыла уменьшились вдвое. На сколько стирок хватит оставшегося куска?

№3. Решить уравнение в целых числах: .

№4. Марфуша, Поликсена и Редиска пили чай. Если бы М выпила на 5 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Если бы П выпила на 9 чашек больше, то она выпила бы столько, сколько две другие вместе. Сколько каждая выпила чашек и у кого какое отчество, если Карповна выпила 11 чашек, Уваровна пила вприкуску, а количество выпитых Титовной чашек кратно трем?

№5. Переднее колесо велосипеда изнашивается через 2000 км, а заднее – через 3000 км. Какое максимальное расстояние можно проехать на одной паре колес?

№6. У продавца имеется моток веревки, длиной 1024 м. Никаких измерительных инструментов нет, поэтому продавец может лишь резать любой из имеющихся кусков веревки пополам. В магазин по одному приходят покупатели за кусками веревки, длина которых выражается степенью двойки (1 м, 2 м, 4 м,…, 1024 м). Известно, что сумма всех запросов покупателей за день не превышает 1024 м, но в каком порядке идут покупатели и сколько метров будет просить каждый из них – неизвестно. Как нужно действовать продавцу, чтобы обслужить всех покупателей?

№7. Каждый зритель, пришедший на спектакль «Королевской слон», принес с собой либо одну дохлую крысу, либо две гнилые редьки, либо три тухлых помидорины. Стоявший у входа Том Сойер подсчитал, что крыс было 64 штуки. После спектакля оба артиста – король и герцог – были с ног до головы закиданы припасами, причем на долю каждого досталось поровну предметов (а промахов жители не делают). Правда, король принял на себя лишь пятую часть всех помидор и седьмую часть редьки, но все дохлые крысы полетели именно в него. Сколько зрителей пришло на представление?

№8. Можно ли на плоскости расположить 8 отрезков так, чтобы каждый из них пересекался ровно с тремя другими? Тот же вопрос для 7 отрезков.

На рисунке показано, что 6 отрезков так расположить можно.

№9. Рассмотрим ожерелье, составленное из 15 бусинок (красных и синих). Ожерелье считается «несчастливым», если в нем найдутся 2 красные бусинки, между которыми будут ровно 5 бусинок. Какое наибольшее количество красных бусинок может содержать «счастливое» ожерелье? Докажите, что никто не сможет сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных бусинок.

№10. Мама дала Васе денег на 30 карандашей. Оказалось, что в магазине карандашная фабрика проводит рекламную акцию: в обмен на чек о покупке набора из 20 карандашей возвращают 25 % стоимости набора, а в обмен на чек о покупке набора из 5 карандашей 10%. Какое наибольшее число карандашей может купить Вася?

Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)

XI Республиканской олимпиады имени

1. Ответ-20 поворотов. Легко привести пример, когда поворотов 20. Докажем, что меньше 20 поворотов быть не может. Рассмотрим 10 улиц какого-то одного направления. Если маршрут проходит по каждой из них, то на каждой из них уже есть не менее двух поворотов маршрута, и все доказано. Если найдется такая улица, по которой маршрут не проходит совсем, то он должен проходить по всем 10 перпендикулярным улицам. К ним мы можем применить те же самые рассуждения.

2. На одну стирку. После каждой стирки, мыло уменьшается на одинаковый объем. После семи стирок осталась только 1/8 объема. Значит осталась только одна стирка.

Решая их получаем ответ: x=-1,y=8 или x=-5,y=0 илих=2,у=2 или х=-2 или у=-6

5. Для того чтобы проехать наибольшее расстояние, необходимо в какой-то момент так поменять колеса местами, чтобы они израсходовали свой ресурс по возможности одновременно. Пусть это произойдет через х км, и мы сумеем проехать еще у км, тогда ресурс первого колеса составит , а второго . Следовательно, Тогда, умножая почленно каждое неравенство на 6000 и складывая их, получим . Проверкой убеждаемся, что при х =у=1200 оба ресурса достигают 1. Ответ: 2400 км

6. Стратегия продавца должна состоять в том, чтобы разрезать как можно меньше. Если кусок, требуемый покупателем длины уже есть, тот нужно продать его, если же его нет, нужно взять кусок наименьшей длины, превышающий длину требуемого, и разрезать его пополам. Если получившиеся куски снова длиннее требуемого, нужно взять один из них и разрезать его пополам и т. д. Действуя таким образом, продавец когда-нибудь получит кусок требуемой длины и сможет продать его. При такой стратегии после каждой продажи у продавца у продавца не окажется двух или более кусков одинаковой длины. Покажем, что при такой стратегии продавец сможет последовательно удовлетворить запросы всех покупателей. Предположим, что это не так. Пусть продавец не может продать кусок, требуемый очередным покупателем. Это значит, что все куски, которые есть у продавца, короче того, который нужен покупателю. Но мы знаем, что среди них нет кусков одинаковой длины. Значит, если бы у продавца оставались все куски, имеющие меньшие длины, то сумма этих длин была бы меньше требуемой, т к для все натуральных n . Следовательно, сумма всех запросов покупателей за этот день превысила бы 1024 метра, что противоречит условию.

9. 1. Приведем пример: n=6

— 2. Докажем, что никто не сможет сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных бусинок:

—

Если бусинка под №1- синяя,

то среди бусинок с номерами

4, 7, 10, 13 не более двух

-Всего таких звездочек – 3, =>

Красных бусинок не более 6.

Вывод: Невозможно сделать «счастливое» ожерелье, в котором более 6 красных бусинок, => n= 6, ч. т. д.

XI Республиканская олимпиада

№1. Найдите числа и из тождества:

№2. Можно ли разменять 100 рублей, имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего в размене участвовало 29 купюр.

№3. Найти все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению

№4. В треугольнике АВС проведены высоты АЕ, ВМ, СР. Известно, что ЕМ||АВ, ЕР||АС. Доказать, что МР||ВС.

№5. Упростить:

№6. В треугольнике известны две стороны и . Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?

№7. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.

№8. О натуральных числах и известно, что делится на при любом натуральном . Докажите, что

Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)

XI Республиканской олимпиады имени

1. Найдите числа а и в из тождества: = +

Сложив две дроби в правой части тождества, перепишем его в виде

Решив полученную систему, находим: а=2, в=3

2. Можно ли разменять 100 рублей, имея рублевые, трехрублевые и пятирублевые купюры, так, чтобы всего в размене участвовало 29 купюр.

Решение: Пусть в размене участвуют a рублёвых в трёхрублёвых и с пятирублёвых купюр, тогда а+3в+5с=100. Записав это равенство в виде (а+в+с)+(2в+4с)=100, заключаем, что а+в+с=29- чётное число, так как числа 100 и 2в+4с – чётные. Следовательно, нельзя разменять 100 рублей с помощью 29 купюр достоинством в 1р., 3р. и 5р.

3. Найти все пары целых чисел (х ; у), удовлетворяющих уравнению = + 2у +13

Решение:

Заметив, что каждая скобка – чётное число, получаем четыре возможности: одна из скобок равна ±2, вторая ±6, откуда легко следует ответ:

4. В треугольнике АВС проведены высоты АЕ, ВМ, СР. Известно, что ЕМ ΙΙ АВ, ЕР ΙΙ АС. Доказать, что МР ΙΙ ВС.

2 способ: обозначим точку пересечения отрезков СР и ЕМ буквой О. ∆РОЕ

∆МОС по двум углам. Из подобия треугольников следует ЕО:ОМ=РО:ОС. Треугольники РОМ и ЕОС так же будут подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Значит угол ОРМ равен углу ОСМ а они накрест лежащие, то РМ параллельно ВС при секущей РС.

5. Упростить: 2∙

Решение: 2∙=2∙ =2∙=

2∙=2∙=2∙====

6. В треугольнике известны две стороны x и y. Какой должна быть третья сторона, чтобы наибольший угол треугольника имел наименьшую величину?

Решение: Предположим x › y, тогда наибольший из углов либо x либо с. Следовательно, наименьший угол становится наибольшим при x=c.

7. Имеются два слитка золота с серебром. Процентное содержание золота в первом слитке в 2,5 раза больше, чем процентное содержание золота во втором слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Найдите, во сколько раз первый слиток тяжелее второго, если известно, что при сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота.

Решение: Пусть х кг золота в первом слитке, у кг золота во втором слитке; р%-процентное содержание золота во втором слитке, 2,5р%-процентное содержание золота в первом слитке. При сплаве равных по весу частей первого и второго слитков получается сплав, в котором 35% золота, получаем уравнение: Отсюда следует р=20% золота во втором слитке, 20∙2,5=50% золота в первом слитке. Если сплавить оба слитка вместе, то получится слиток, в котором будет 40% золота. Составляем уравнение:. Подставляя за место р=20 получим 0,5х+0,2у=0,4∙(х+у)

Ответ: первый слиток тяжелее второго в два раза

8.О натуральных числах x и y известно, что xn+1 делится на yn+1 при любом натуральном n. Докажите, что x=y.

Решение: Вместе с числом xn+1 на yn+1 делится и разность

XI Республиканская олимпиада

№1. Найдите действительные решения уравнения (x+2)⁴+x⁴=82.

№2. Равнобокая трапеция MNPQ разбивается диагональю на 2 равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.

№4. Пусть A – точка на прямой y=2x+1, а B – точка на параболе y=-x²+x-2. Чему равно наименьшее значение длины отрезка AB?

№5. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна a. На стороне BC лежит точка D, а на AB – точка E так, что BD=, AE=DE. Найдите CE.

№6. Решите систему:

№7. Профессор Киселев и доцент Галлямов живут недалеко друг от друга. Они любят по вечерам прогуливаться от своего дома до дома коллеги, туда и обратно несколько раз. Однажды они вышли из своих домов одновременно. В первый раз они поравнялись на расстоянии 55 м от дома профессора. Второй раз это произошло на расстоянии 85 м от дома доцента. На расстоянии 25 м от дома доцента находится газетный киоск, а неподалеку от дома профессора – киоск, торгующий газированной водой. Известно, что, выйдя из своих домов, профессор и доцент одновременно прошли мимо ближайших киосков. Чему равно расстояние между киосками?

№8. Слова АКТ, КРОВ, ТАЛАНТ означают соответственно квадрат, куб и четвертую степень одного натурального числа. Какое слово соответствует числу 93015823?

Решения заданий заочного тура (Интернет-тура)

XI Республиканской олимпиады имени

1. Найдите действительные решения уравнения (x+2)⁴+x⁴=82.

Решение: Обозначим y=x+1, тогда данное уравнение примет вид

(y+1)⁴+(y-1)⁴=82, которое после упрощения примет вид: y⁴+6y²-40=0. Данное биквадратное уравнение имеет решения y₁,₂=-3;1. Cледовательно, x₁=1; x₂=-3.

2. Равнобокая трапеция ABCD разбивается диагональю на 2 равнобедренных треугольника. Определите углы трапеции.

Решение: Так как 90°, то 85.

2) Профессор догнал доцента. Этот случай также невозможен, так как тогда скорость профессора более чем в 2 раза превышала бы скорость доцента. Значит путь, пройденный доцентом к моменту первой встречи, меньше, чем 55+0,5 *55=82,5

Источник