можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так чтобы они не били друг друга

Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так чтобы они не били друг друга

а) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматной доске так, чтобы никакие две не били друг друга?

б) На шахматной доске поставлены восемь ладей. Какое наибольшее число клеток может оказаться не под боем этих ладей?

в) На 64 летках шахматной доски выписаны подряд числа от 1 до 64 (в верхнем ряду слева направо числа от 1 до 8, во втором ряду числа от 9 до 16 и т. д.) Восемь ладей поставлены так, что никакие две не бьют друг друга. Подсчитана сумма чисел, написанных на тех восьми клетках, на которых поставлены ладьи. Найдите все значения, которые может принимать эта сумма.

а) В каждой строке можно поставить не более одной ладьи, поэтому всего на доске — не более 8. Пример — ладьи стоят на всех клетках одной из диагоналей.

б) Пусть ладьи занимают a горизонталей и b вертикалей, то есть стоят в прямоугольнике откуда Тогда они не бьют клетки на остальных вертикалях и горизонталях, то есть клеток. Разберем случаи.

1) или Тогда или и ладьи бьют всю доску.

2) или Тогда или и непобитых клеток не более

3) Тогда и равенство возможно при Пример — ладьи занимают любые 8 клеток в выбранном на доске квадрате

в) В каждой клетке записано число где a — номер столбца, а b — номер строки (номера считаются слева направо и сверху вниз от 1 до 8). Поскольку ладьи не бьют друг друга, то в роли a и b побывают все числа от 1 до 8. Значит, общая сумма чисел всегда одна и та же и составляет

Источник

Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так чтобы они не били друг друга

Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно 22? 28? 350? 730?

Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел (не обязательно различных) быть равными а) 999? б) 1999?

Площадь прямоугольника меньше 1 кв.м. Может ли его периметр быть больше 1 км?

Фирма проработала год, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. За каждые два подряд идущих месяца прибыль оказалась отрицательна (то есть фирма заработала меньше чем потратила). а) Могло ли случиться, что прибыль за весь весь год оказалась положительна? б) А за первые 11 месяцев?

В однокруговом футбольном турнире за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. «Спартак» одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?

Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?

б) Можно. Например, так.

Какое наибольшее число ладей (слонов, королей, ферзей, коней) можно расставить на доске так, чтобы они не били друг друга?

Новые задачи. Разнобой.

188. Можно ли числа от 1 до 17 выписать по кругу так, чтобы сумма любых двух соседних чисел была простым числом?

189. Как посадить 9 деревьев так, чтобы получилось 10 прямых рядов по три дерева в каждом?

190. Во фразе, взятой в кавычки, подставьте вместо многоточий числа так, чтобы она оказалась верной.

191. Два человека бегут вниз по ступеням эскалатора метро, идущего вниз. Один бежит быстрее другого. Кто из них насчитает больше ступенек?

192. В квадрате 3 x 3 находится 9 лампочек. За одну операцию можно переключить все лампочки, находящиеся в каком-нибудь квадрате 2 x 2. Сколько различных узоров можно получить из погасшего» состояния?

193. Можно ли в вершинах и на серединах сторон правильного восьмиугольника расставить натуральные числа от 1 до 16 так, чтобы сумма чисел на концах любой стороны равнялась числу в его середине? Каждое из чисел можно использовать ровно 1 раз.

195. На доске выписаны целые числа от 1 до 14, каждое по одному разу. Двое играющих по очереди стирают по одному числу до тех пор, пока не останется ровно два числа. Если их сумма точный квадрат, то выигрывает второй, иначе первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Источник

Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так чтобы они не били друг друга

Задача 1: Может ли в месяце быть 3; 4; 5; 6 воскресений?

Задача 2: Может ли в году быть 51; 52; 53; 54 воскресенья?

Задача 3: Может ли сумма цифр трёхзначного числа быть равной 22? А равной 28?

Задача 4: Может ли произведение цифр трёхзначного числа быть равно 22? 28? 350? 730?

Задача 5: Позавчера Васе было 11 лет, а в следующем году исполнится 14. Может ли такое быть?

Задача 6: Двое близнецов родились с интервалом в 10 минут. Когда спустя 7 лет они готовились идти в первый класс, их спросили, сколько им лет. «Мне вчера исполнилось семь», – гордо ответил один. «А мне семь исполнится только завтра», – признался второй. Как такое могло быть?

Решение: Они родились в ночь с 28 февраля на 1 марта невисокосного года, а в школу поступали в високосном году. Вопрос был задан 29 февраля.

Задача 7: Можно ли в прямоугольную таблицу поставить числа так, чтобы в каждом столбце сумма была положительна, а в каждой строке – отрицательна?

Задача 8: Можно ли в таблицу 4 × 4 поставить числа – 1, 0 и 1 так, чтобы все 8 сумм чисел в строках и столбцах были различными?

Задача 10: Может ли и сумма, и произведение нескольких натуральных чисел быть равными а) 999? б) 1999?

Решение: а) Да. Например, это числа 111, 9 и много-много единиц. б) Нет. 1999 – простое число, так что среди множителей непременно присутствует само это число, а тогда сумма больше 1999.

Задача 11: Площадь прямоугольника меньше 1 кв.м. Может ли его периметр быть больше 1 км?

Решение: Да, пусть стороны равны 500 м и 1/1\,000 м.

Задача 12: На балу было юношей и девушек поровну, было 10 танцев и каждый раз танцевали все.

а) Могло ли получиться, что каждый юноша каждый следующий танец танцевал либо с более красивой, либо с более умной девушкой?

Решение: Пусть на балу 3 юноши и 3 девушки А, Б и В, причём красота возрастает в порядке АБВ, а ум – в порядке БВА. Юноши чередуют девушек по кругу в порядке АБВ.

Задача 13: Сумма положительных чисел больше 10. Может ли сумма их квадратов быть меньше 1?

Решение: Да. Возьмем 1001 число, все равны 1/100, тогда их сумма равна 10.01, а сумма квадратов – 1\,001/10\,000.

Задача 14: На занятии Вася, Леня и Стас решили все задачи. Может ли оказаться, что Стас большинство задач решил раньше Лени, Леня – большинство раньше Васи, а Вася – большинство раньше Стаса?

Решение: Например, задач всего три, первую задачу решил сперва Стас, потом Леня, потом Вася; вторую – Леня, Вася, Стас; третью – Вася, Стас, Леня.

Задача 15: Фирма проработала год, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. Каждые два подряд идущих месяца суммарная прибыль была отрицательной.

а) Может ли суммарная прибыль за весь год быть положительной?

б) А за первые 11 месяцев?

Решение: а) Нет. Разбиваем 12 месяцев на пары, складываем и видим, что суммарная прибыль тоже должна быть отрицательной. б) Да: представим, что каждый нечётный месяц фирма работала с прибылью + 100, а в каждом чётном месяце прибыль равнялась – 101.

Задача 16: В однокруговом футбольном турнире за победу давали 2 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков. «Спартак» одержал больше всех побед. Мог ли он набрать меньше всех очков?

Решение: Да. Пусть Спартак одержал победу лишь однажды, а остальные матчи проиграл. Все матчи, в которых Спартак не участвовал, завершились вничью. Если в турнире участвовало не меньше пяти команд, то у Спартака меньше всех очков.

Задача 17: Можно ли на шахматной доске расставить а) 9 ладей; б) 14 слонов так, чтобы они не били друг друга?

Решение: Нельзя в обоих пунктах.

Задача 18: Какое наибольшее число ладей (слонов, королей, ферзей, коней) можно расставить на доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение: 8 (12, 32, 8, 32)

Задача 19: У шахматной доски выпилены а) угловая клетка; б) две противоположные угловые клетки; в) две клетки разного цвета. Можно ли такую испорченную доску распилить на двуклеточные прямоугольники?

Решение: в) Обойдем шахматную доску ладьей по циклу. Выброшенные клетки разного цвета разобьют цикл на два куска чётной длины, и каждый кусок режется на пары соседних клеток.

Задача 20: Из 4 одинаковых с виду монет одна фальшивая (легче настоящей). Можно ли наверняка найти ее за одно взвешивание на чашечных весах без гирь?

Решение: Нельзя, поскольку при невезении после взвешивания останутся 2 подозрительные монеты.

Задача 21: На сковороде могут одновременно жариться 2 котлеты. Каждую надо обжарить с обеих сторон, причём для обжаривания одной стороны требуются 2 минуты. Можно ли поджарить 3 котлеты быстрее, чем за 7 минут?

Решение: Да. Через две минуты одну котлету переворачиваем, а вторую снимаем и вместо нее кладем третью. Через четыре минуты снимаем первую котлету, вместо нее кладем дожариваться вторую (на вторую сторону), а третью котлету переворачиваем. Через шесть минут котлеты готовы.

Задача 22: В магазин привезли платья трёх цветов и трёх фасонов. Всегда ли можно выбрать для витрины 3 платья, чтобы были представлены все цвета и все фасоны?

Решение: Не всегда. Например, если есть три красных платья трёх фасонов, и еще синее и зеленое платье первого фасона, то выбрать требуемым образом нельзя.

Источник

Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так чтобы они не били друг друга

А) Какое наибольшее число ладей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие две не били друг друга?

Б) Какое наибольшее число королей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

В) Какое наименьшее число королей нужно поставить на шахматную доску так, чтобы все свободные клетки оказались под боем?

Г) Какое наибольшее число ферзей можно поставить на шахматную доску так, чтобы никакие два не били друг друга?

а) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одной ладьи. Поэтому ладей не более восьми. Можно, например, поставить их в каждую клетку главной диагонали. Тогда их ровно 8 и никакие две не бьют друг друга.

б) Разобьем доску на 16 квадратов 2 на 2. Ясно, что каждый такой квадрат может содержать не более одного короля. Значит, всего можно разместить не более 16 королей. Пример годится, например, такой: ставим по королю в левый нижний угол каждого из квадратов 2 на 2.

в) Расширим шахматную доску до размеров 9Х9, добавив мысленно вертикаль справа и горизонталь сверху. Разобьем полученную доску на 9 квадратов 3Х3. Поставим в центр каждого из квадратов по королю. Тогда все клетки доски 9Х9, а значит, и исходной доски оказались под боем. Видно, что эти 9 королей попали и на исходную доску, поэтому 9 королей хватит.

Докажем, что 8 королей не хватит. Рассмотрим первые две горизонтали. На них должно располагаться не менее трех королей (иначе какие-то поля первой горизонтали не будут биты). Рассмотрим седьмую и восьмую горизонтали. Аналогично на них должно стоять не менее трех королей. Теперь рассмотрим 4 и 5 горизонтали. На них должно стоять тоже не менее трех королей, иначе не будут биты, например, все поля на 4й горизонтали. Таким образом, королей должно быть не менее 9.

г) Ясно, что в каждой строке можно поставить не более одного ферзя. Поэтому ферзей не более восьми.

Приведем пример: поставим ферзей в клетки

Ответ: а) 8; б) 16; в) 9; г) 8.