найдите количество таких двузначных чисел при которых выражение является натуральным числом
Найдите количество таких двузначных чисел a, при которых выражение a−9 в корне является натуральным числом?
Найдите количество таких двузначных чисел a, при которых выражение a−9 в корне является натуральным числом.
На этом отрезке есть девять натуральных чисел от 1 до 9.
Какое число мог записать Денис?
Сколько существует таких двузначных чисел?
Как изменится двузначное число которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисела) два нуля б) такое же числодругое заданиеиз чисел оканчивающихся цифрой 5 выпишите такие которые больше 16?
Как изменится двузначное число которое равно сумме всех предшествующих ему натуральных чисел
а) два нуля б) такое же число
из чисел оканчивающихся цифрой 5 выпишите такие которые больше 160 но меньше 200.
Указать такое натуральное число начиная с которого 12 последующих чисел являются составными?
Указать такое натуральное число начиная с которого 12 последующих чисел являются составными.
Произведение цифр натурального двузначного числа равно 12, а сумма квадратов цифр этого числа равна 40?
Произведение цифр натурального двузначного числа равно 12, а сумма квадратов цифр этого числа равна 40.
Найдите сумма таких чисел.
Количество натуральных двузначных чисел, в запись которых только один раз входит цифра 3, равно?
Количество натуральных двузначных чисел, в запись которых только один раз входит цифра 3, равно.
Количество двузначных круглых чисел умножить на число которое приказывает?
Количество двузначных круглых чисел умножить на число которое приказывает?
1. найдите все такие натуральные числа, n при которых : а) выражение 5n + 4 / n + 3 является натуральным числом?
1. найдите все такие натуральные числа, n при которых : а) выражение 5n + 4 / n + 3 является натуральным числом.
Найдите три последовательных натуральных чисел наименьшее из которых является наибольшее четырехзначное число?
Найдите три последовательных натуральных чисел наименьшее из которых является наибольшее четырехзначное число.
Сколько существует натуральных двузначных чисел AB таких что A двузначное число является степенью 2?
Сколько существует натуральных двузначных чисел AB таких что A двузначное число является степенью 2.
Разряды и классы чисел
Числа и цифры
Числа — это единицы счета. С помощью чисел можно сосчитать количество предметов и определить различные величины.
Для записи чисел используются специальные знаки — цифры. Всего их десять: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.
Натуральные числа — это числа, которые мы используем при счете. Вот они: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, …
От количества цифр в числе зависит его название.
Число, которое состоит из одного знака, называется однозначным. Наименьшее однозначное — 1, наибольшее — 9.
Число, которое состоит из двух знаков цифр, называется двузначным. Наименьшее двузначное — 10, наибольшее — 99.
Числа, которые записаны с помощью двух, трех, четырех и более цифр, называются двузначными, трехзначными, четырехзначными или многозначными. Наименьшее трехзначное — 100, наибольшее — 999.
Каждая цифра в записи многозначного числа занимает определенное место — позицию.
Классы чисел
Цифры в записи многозначных чисел разбивают справа налево на группы по три цифры в каждой. Эти группы называют классами. В каждом классе цифры справа налево обозначают единицы, десятки и сотни этого класса.
Названия классов многозначных чисел справа налево:
Чтобы читать запись многозначного числа было удобно, между классами оставляют небольшой пробел. Например, чтобы прочитать число 125911723296, удобно сначала выделить в нем классы:
А теперь прочитаем число единиц каждого класса слева направо:
Разряды чисел
От позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Например:
Можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен, а 1 служит значением разряда тысяч.
Проясним, что такое разряд в математике. Разряд — это позиция или место расположения цифры в записи натурального числа.
У каждого разряда есть свое название. Слева всегда живут старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.
Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.
Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.
Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.
Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще чтобы визуально разделить классы чисел.
Разрядные единицы обозначают так:
Каждые три разряда, следующие друг за другом, составляют класс. Первые три разряда: единицы десятки и сотни — образуют класс единиц (первый класс). Следующие три разряда: единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч — образуют класс тысяч (второй класс). Третий класс будут составлять единицы, десятки и тысячи миллионов и так далее.
Чтобы легче понимать математику — записывайтесь на наши онлайн-курсы по математике!
Потренируемся
Пример 1. Записать цифрами число, в котором содержится:
Все разрядные единицы, кроме простых единиц, называют составными единицами. Каждые десять единиц любого разряда составляют одну единицу следующего более высокого разряда:
Чтобы узнать, сколько в числе заключается всех единиц какого-либо разряда, нужно отбросить все цифры, обозначающие единицы низших разрядов и прочитать число, которое выражено оставшимися цифрами.
Пример 2. Сколько сотен содержится в числе 6284?
В числе 6284 на третьем месте в классе единиц стоит цифра 2, значит, в числе есть две сотни.
Следующая цифра слева — 6, означает тысячи. Так как в каждой тысяче содержится 10 сотен то, в 6 тысячах их заключается 60.
Значит, в данном числе содержится 62 сотни.
Цифра 0 в любом разряде означает отсутствие единиц в данном разряде.
Проще говоря, цифра 0 в разряде десятков означает отсутствие десятков, в разряде сотен — отсутствие сотен и т. д. В том разряде, где стоит 0, при чтении числа ничего не произносится:
Чтобы проще освоить эту тему, можно распечатать таблицу классов и разрядов для учащихся 4 класса и обращаться к ней, если возникнут сложности.
Мерзляк 6 класс — § 2. Признаки делимости на 10, на 5 и на 2
Вопросы к параграфу
1. Какой цифрой должна оканчиваться запись натурального числа, чтобы оно делилось нацело на 10?
2. Какие числа называют чётными? Нечётными?
3. Какие цифры называют чётными? Нечётными?
4. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 2 или нет?
5. Как по записи натурального числа установить, делится оно нацело на 5 или нет?
Решаем устно
1. Верно ли утверждение:
2. Назовите четыре натуральных числа, для которых делителем является число:
3. Назовите четыре натуральных числа, кратных числу:
2) 11
4. Назовите в порядке возрастания все делители числа:
2) 14
3) 40
Упражнения
40. Заполните таблицу (поставьте знак «+» в случае утвердительного ответа или знак «-» в ином случае).
41. Из чисел 34, 467, 435, 860, 648, 5 465, 8 216, 2 405, 1 020, 246 370 выпишите те, которые делятся нацело:
1) на 2
34, 860, 648, 8 216, 1 020, 246 370.
2) на 5
435, 860, 5 465, 2 405, 1 020, 246 370.
3) на 10
42. Какие из чисел 68, 395, 760, 943, 1 270, 2 625, 9 042, 7 121, 1 734:
1) не делятся нацело на 2
68, 760, 1 270, 9 042, 1 734.
2) кратны 10
3) делятся нацело на 5, но не делятся нацело на 10
43. Верно ли утверждение:
44. Запишите все нечётные значения х, при которых верно неравенство:
1) 273 275, 277, 279, 281, 283, 285, 287, 289.
2) 2 725 2 727, 2 729, 2 731, 2 733, 2 735.
45. Запишите все чётные значения х при которых верно неравенство:
1) 134 136, 138, 140, 142, 144, 146, 148, 150, 152, 154, 156, 158.
2) 489 490, 492, 494, 496, 498, 500.
46. Найдите все значения х, кратные числу 5, при которых верно неравенство:
1) 38 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70.
2) 3 720 3 725, 3 730, 3 735, 3 740, 3 745, 3 750.
47. Найдите все значения х, кратные числу 10, при которых верно неравенство:
1) 279 280, 290, 300, 310.
2) 1 465 1 470, 1 480, 1 490, 1 500.
48. Запишите все четырёхзначные числа, кратные числу 5, для записи которых используют цифры 0, 3, 5, 7 (цифры не могут повторяться).
49. Найдите все цифры, которые можно дописать справа к числу 793, чтобы получить число, кратное (можно дописывать только одну цифру):
7 930, 7 932, 7 934, 7 936, 7 938.
3) 10
50. Запишите наибольшее:
Цифры в записи числа не могут повторяться.
51. 1) Запишите шесть первых натуральных чисел, кратных 100. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 100.
100, 200, 300, 400, 500, 600.
Число делится на 100, если оно оканчивается двумя нулями.
2) Запишите восемь первых натуральных чисел, кратных 25. Обратите внимание на две последние цифры этих чисел. Сформулируйте признак делимости на 25.
25, 50, 75, 100, 125, 150, 175, 200
Число делится на 25, если оно оканчивается цифрами: 25, 50, 75 или двумя нулями.
52. Найдите наибольшее двузначное число х, при котором значение выражения х — 32 делится нацело на 5.
1 способ:
Будем действовать методом подбора, начиная с наибольшего двузначного числа:
2 способ:
Надо найти число, оканчивающееся на 0 или на 5, в результате сложения которого с числом 32 получиться наибольшее возможное двузначное число:
Если х = 97, то 97 — 32 = 65 — делится нацело на 5 — верный ответ.
53. Найдите наименьшее трёхзначное число у, при котором значение выражения 327 + у является числом, кратным 10.
1 способ:
Будем действовать методом подбора, начиная с наименьшего трёхзначного числа:
2 способ:
Для того, чтобы число было кратно 10, надо чтобы оно оканчивалось на 0.
Если у = 103, то 327 — 103 = 430 — делится нацело на 10 — верный ответ.
54. Может ли число, в записи которого все цифры равны 1, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны 2?
Нет, такого быть не может, так как:
55. Может ли число, в записи которого все цифры равны 2, делиться нацело на число, в записи которого все цифры равны:
Да, может, так как чётное число может делиться на нечётное нацело.
Нет, не может, так как для того, чтобы число делилось нацело на 5, надо чтобы оно оканчивалось на цифру 0 или на цифру 5.
56. 1) Сумма двух натуральных чисел является нечётным числом. Чётным или нечётным числом будет их произведение?
Ответ: произведение будет чётным.
2) Сумма двух натуральных чисел является чётным числом. Обязательно ли их произведение будет чётным числом?
Значит в этом случае произведение может и не быть чётным числом.
Ответ: нет, не обязательно.
57. Чётной или нечётной будет сумма семи натуральных чисел, если:
1) четыре слагаемых чётные, а остальные — нечётные
В нашем задании 7 натуральных чисел: 4 — чётные и 3 нечётные:
Ответ: сумма будет нечётной.
2) четыре слагаемых нечётные, а остальные — чётные
В нашем задании 7 натуральных чисел: 4 — нечётные и 3 чётные:
Ответ: сумма будет чётной.
58. Сумма девяти натуральных чисел равна 1 000. Можно ли утверждать, что их произведение — чётное число? Ответ объясните.
н + (н + н) + (н + н) + (н + н) + (н + н) = н + (ч + ч) + (ч + ч) = н + (ч + ч) = н + ч = н.
Ответ: да, произведение будет чётным числом.
59. Можно ли разложить 50 яблок на пять кучек, в каждой из которых нечетное количество яблок? Ответ объясните.
Число 50 — это чётное число, а при сложении пяти нечётных чисел получается нечётное число:
Значит 50 яблок нельзя разложить на 5 кучек, в каждой из которых будет нечётное количество яблок.
60. Существует ли прямоугольник, длины сторон которого выражены натуральными числами в сантиметрах, причём одна из них на 1 см длиннее другой, и площадь которого равна 12 345 см²?
Ответ: нет, такого прямоугольника не существует.
61. Известно, что n — натуральное число. Является ли чётным числом значение выражения:
62. В школе работают два ночных охранника — Иван Иванович и Пётр Петрович. Они дежурят по очереди с вечера до утра следующего дня. Иван Иванович заступил на дежурство 1 сентября, а Пётр Петрович — 2 сентября. Кто из них заступит на дежурство 18 сентября? 29 сентября? 1 октября? 30 октября? 31 октября? По каким числам — чётным или нечётным — будет дежурить Иван Иванович в ноябре? Кто из них будет дежурить в ночь на Новый год?
В сентябре
В октябре
В ноябре
В декабре
63. Верно ли, что из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2?
Натуральные числа бывают чётные и нечётные. Рассмотрим все варианты наборов из трёх натуральных чисел:
Мы рассмотрели все возможные варианты и для всех из них утверждение оказалось верным.
Ответ: да, из любых трёх натуральных чисел всегда найдутся два таких, сумма которых делится нацело на 2.
64. Сколькими нулями оканчивается запись числа, которое равно произведению:
Мы знаем, что количество нулей, в записи числа произведения, равно количеству множителей кратных 10. Такими множителями могут быть:
1) 1 • 2 • 3 • … • 15 • 16
Запишем всё произведение: 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16.
Ноль в записи числа произведения нам могут дать:
Значит запись числа, обозначающего данное произведение будет оканчиваться тремя нулями.
2) 1 • 2 • 3 • … • 25 • 26
Запишем всё произведение: 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 • 11 • 12 • 13 • 14 • 15 • 16 • 17 • 18 • 19 • 20 • 21 • 22 • 23 • 24 • 25 • 26.
Ноль в записи числа произведения нам могут дать:
Значит запись числа, обозначающего данное произведение будет оканчиваться пятью нулями.
65. Сумма двух натуральных чисел равна 700. Первое из них оканчивается цифрой 7. Если её зачеркнуть, то получим второе число. Найдите эти числа.
Пусть второе число равно х. Тогда первое число будет равно (10х + 7). Можно составить уравнение:
х + (10х + 7) = 700
х + 10х + 7 = 700
11х + 7 = 700
11х = 700 — 7
11х = 693
х = 693 : 11
х = 63
Это значит, что второе число равно 63, а первое число — 637.
637 + 63 = 700 — верно.
Ответ: первое число равно 637, а второе число равно 63.
Комментарий: При решении этой задачи необходим вспомнить, что каждое число можно разложить на разряды: сотни, десятки и единицы. Так как в первом числе мы зачеркнули цифру 7 из разряда единиц, то количество сотен первого числа равно количеству десятков второго, а количество десятков первого числа равно количеству единиц второго.
Условно это можно записать так:
Для удобства, при решении задачи аb мы заменили на х.
66. Сколько существует двузначных чисел, для записи которых использованы только:
1) чётные цифры
Запишем все возможные числа, удовлетворяющие условию:
Получилось 20 чисел.
2) нечётные цифры
Запишем все возможные числа, удовлетворяющие условию:
Получилось 25 чисел.
67. Можно ли в выражении 1 + 2 + 3 + … + 8 + 9 заменить некоторые знаки «+» на знаки «—» так, чтобы значение полученного числового выражения было равным 18?
Ответ: нет, это невозможно.
Упражнения для повторения
68. Докажите, что:
69. По состоянию на 2015 г. в России было 116 естественнонаучных музеев и музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства. Сколько музеев каждого из этих двух видов, если музеев науки, техники и отраслей народного хозяйства в 3 раза меньше, чем естественнонаучных музеев?
Пусть музеев науки, техники и народного хозяйства будет х штук, тогда естественнонаучных музеев будет 3х штук. Можем составить уравнение:
х + 3х = 116
4х = 116
х = 116 : 4
х = 29 (шт.) — музеев науки, техники и народного хозяйства было в России в 2015 году.
29 • 3 = 87 (шт.) — музеев естественнонаучных было в России в 2015 году.
Ответ: естественнонаучных музеев 87 штук, а музеев науки, техники и народного хозяйства — 29 штук.
70. По состоянию на 2015 г. в России было 152 государственных природных заповедника и национальных парка. Сколько в России природных заповедников и сколько национальных парков, если заповедников на 58 больше, чем парков?
Пусть национальных парков будет х штук. Тогда природных заповедников будет (х + 58) штук. Можем составить уравнение:
х = 47 (шт.) — национальных парков было в России в 2015 году.
47 + 58 = 105 (шт.) — природных заповедников было в России в 2015 году.
Ответ: национальных парков было 47 штук, а природных заповедников — 105 штук.
71. Выполните действия:
Задача от мудрой совы
72. В клетках таблицы размером 3 х 3 стоят нули. Разрешается выбрать любой квадрат размером 2 х 2 клетки и увеличить числа во всех его клетках на единицу. Можно ли после нескольких таких операций получить таблицу, изображённую на рисунке 1?
