найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Задача 1:

Найти все тройки ненулевых чисел a, b и c, образующих арифметическую прогрессию и таких, что из чисел найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32, найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32, найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32также можно составить арифметическую прогрессию.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Решение: По свойству арифметической прогрессии имеем a + c = 2b и одно из следующих уравнений

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Первый случай приводит к уравнению b² = 2ac, которое не имеет решений при a + c = 2b; два других приводят к одному и тому же ответу: все тройки вида – 2t, – 0,5t, t, где t ≠ 0.

Ответ: – 2t, – 0,5t и t при t ≠ 0.

Задача 2:

Найдите тройки чисел a, b и c, являющиеся степенями пятёрки с целыми неотрицательными показателями, такие, что приписывая десятичную запись одного из них к десятичной записи другого, получим третье число.

(Рекомендована жюри Российской олимпиады.)

Задача 3:

В вершинах и точках пересечения диагоналей правильного пятиугольника записаны нули. За один ход разрешается добавить + 1 или – 1 одновременно ко всем числам, расположенным на какой-либо из диагоналей пятиугольника. Какие из указанных на рисунках пятиугольников можно получить через несколько ходов?

=0.5mm em:linewidth 0.4pt 0.4pt

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Решение: Занумеруем диагонали пятиугольника числами от 1 до 5, и пусть x i – число добавленных единиц к i-ой диагонали. Число в любой вершине (точке пересечения диагоналей) равно сумме чисел x i по всем i таким, что i-ая диагональ проходит через эту вершину (точку пересечения диагоналей). Имеем систему десяти уравнений с пятью неизвестными, которая оказывается несовместной во всех изображённых на рисунках случаях.

Ответ: никакой пятиугольник получить нельзя.

Задача 4:

Источник

Найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Задача C6

Для записи решений и ответов на задания С6 используйте бланк ответов № 2 .

Запишите сначала номер выполняемого задания С6 , а затем полное обоснованное решение и ответ.

Делители

05_P23 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 104. Найдите это число.

06_P24 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 741. Найдите это число.

07_P25 У натурального числа ровно 9 натуральных делителей Сумма этих делителей равна 1281. Найдите это число.

08_P26 натурального числа ровно 7 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 19531. Найдите это число

09_P27 У натурального числа ровно 6 натуральных делителей. Сумма этих делителей равна 1140. Найдите это число.

10_P28 Найдите наименьшее трехзначное натуральное число, квадрат которого при делении на 5 дает остаток 4.

Уравнения в целых числах

20_P12 Найдите все пары натуральных чисел k и n таких, что найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32и найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32.

21_P16 Найдите все целые значения m и k такие, что найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32.

22_P19 Найдите все натуральные числа, являющиеся степенью двойки, такие, что после зачеркивания первой цифры их десятичной записи снова получается десятичная запись числа, являющегося степенью двойки.

23_P18 Решите в натуральных числах уравнение найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32`(m, n)» align=»center» border=»0″>.

Десятичная форма записи числа

24_P22 Два двузначных числа, записанных одно за другим, образуют четырёхзначное число, которое делится на их произведение. Найти эти числа.

Факториал

Сравнение чисел

36_P5 Сумма шестнадцати чисел равна 0.5. Оказалось, что сумма каждых пятнадцати из этих шестнадцати чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

37_P6 Сумма восьми чисел равна найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Оказалось, что сумма каждых семи из этих восьми чисел положительна. Какое наименьшее целое значение может иметь наименьшее из данных чисел?

40_P17 Среди обыкновенных дробей с положительными знаменателями, расположенных между числами найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32и найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32, найдите такую, знаменатель которой минимален.

Прогрессии и последовательности

41_P33 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 210 и меньшие 350?

42_P34 Какое наибольшее число членов может иметь геометрическая прогрессия, все члены которой – различно натуральные числа, большие 250 и меньшие 630?

43_D19 Каждое из чисел 2, 3, …, 7 умножают на каждое из чисел 13, 14, …, 21 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

45_D1 Перед каждым из чисел 2, 3, …, 6 и 10, 11, …, 20 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

46_D8 Перед каждым из чисел 5, 6, …, 10 и 12, 13, …, 16 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего к каждому из образовавшихся чисел первого набора прибавляют каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 30 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

47_D49 Гидролог вводит в компьютер измерения температуры забортнойводы. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За время наблюдений температура наблюдалась выше 10°C но ниже 17°C. Всего гидролог ввел 32 измерения, но из-за усталости, качки судна и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой гидролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 32 чисел, начинающийся числами 12,2; 12,8.
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 68,8. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 13,7. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил гидролог.

48_D50 Метеоролог вводит в компьютер измерения температуры воздуха. Температура измеряется с точностью до одной десятой градуса. За все время наблюдений температура наблюдалась выше 20° но ниже 26°. Всего метеоролог ввел 22 измерения, но из-за усталости и плохой клавиатуры один раз вместо десятичной запятой метеоролог нажал клавишу «0», а другой раз вообще не нажал десятичную запятую.
После упорядочивания данных получился ряд из 22 чисел, начинающийся числами 21,3; 21,7.
Если из полученного ряда удалить два первых числа, среднее арифметическое оставшихся равно 149,53. Если удалить два последних, то среднее арифметическое оставшихся равно 23,28. Определите, в каких числах и какие ошибки допустил метеоролог.

Источник

Существуют ли такие натуральные числа m, n, k, что все три числа m^2+n+k, n^2+k+m, k^2+m+n являются квадратами натуральных

Ответ или решение 1

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Нам заданы три натуральных числа m, n, и k.

Нужно ответить на вопрос: являются ли числа, заданные выражениями:

квадратами натуральных чисел?

Решать задачу будем используя алгоритм:

Допустим, что утверждение верно

Предположим что существуют такие m, n и k, для которых выполняются условия заданные в задаче, что m^2 + n + k; n^2 + k + m; k^2 + m + n являются квадратами натуральных чисел.

Вспомним определение натурального числа.

Множество натуральных чисел принято обозначать символом N.

Запишем утверждения, которые должны выполняться

Если выражение m^2 + n + k является квадратом натурального числа, то должно выполнятся неравенство:

m^2 + n + k > (m + 1)^2 (квадрат натурального числа должен быть больше квадрата следующего за ним натурального числа).

m^2 + n + k > m^2 + 2m + 1;

Аналогичное неравенство получаем и для двух других выражений:

n^2 + k + m > n^2 + 2n + 1;

И последнее неравенство:

k^2 + n + m > k^2 + 2k + 1;

Приходим к противоречию

Теперь сложим все три полученные неравенства:

2n + 2k + 2m > 2n + 2k + 2m + 3;

2(n + k + m) > 2(n + k + m) + 3.

В результате мы получили не верное неравенство.

Вывод: натуральных чисел, которые бы удовлетворяли заданным условиям не существует.

Источник

Найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Приведём решение на языке Pascal.

В результате работы программа должна вывести следующее:

Приведем программу на языке Pascal, реализующую этот способ.

Приведем математическое обоснование данного способа.

Пусть разложение числа m на простые множители имеет вид найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32тогда количество делителей числа m равно найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32В частности, четное число раскладывается на множители как найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32где множители ai — нечетные числа. Тогда число имеет найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32четных делителей и найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32нечетных.

Приведем решение Антона Борисова.

Заметим, что числа m и n не превышают 30, поскольку 2 30 > 1 000 000 000. Будем перебирать числа от 0 до 30, перемножать соответствующие степени двоек и троек и проверять, попало ли произведение в заданный диапазон. Для возведения числа в произвольную степень использована функция exp.

Источник

Найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32

Приведём решение на языке Pascal.

arr2: array[1..30] of int64;

arr3: array[1..20] of int64;

answer: array[1..100] of int64;

for i := 1 to 100 do answer[i] := 0;

for i := 1 to 29 do arr2[i+1] := arr2[i] * 2 * 2;

for i := 1 to 19 do arr3[i+1] := arr3[i] * 3 * 3;

for j := 1 to 20 do begin

if ((arr2[i] * arr3[j]) >= 400000000) and ((arr2[i] * arr3[j]) answer[j] then begin

for k := 1 to 100 do

if answer[k] <> 0 then writeln(answer[k]);

В результате работы программа должна вывести следующее:

Приведем программу на языке Pascal, реализующую этот способ.

Приведем математическое обоснование данного способа.

Пусть разложение числа m на простые множители имеет вид найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32тогда количество делителей числа m равно найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32В частности, четное число раскладывается на множители как найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32где множители ai — нечетные числа. Тогда число имеет найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32четных делителей и найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Смотреть картинку найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Картинка про найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32. Фото найдите все тройки натуральных чисел m n k такие что m3 n 3 k 32нечетных.

Приведем решение Миша Бурмистрова.

Будем делить каждое число из заданного диапазона на 2 до тех пор, пока это возможно, а затем на 3. Таким образом мы определим значения переменных m и n. Если m — четное, n — нечетное, а результат деления равен 1, то число выводится на экран.

Источник

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *