Вычисление что это такое математика

Вычисление

Вычисле́ние — математическое преобразование, позволяющее преобразовывать входящий поток информации в выходной, с отличной от первого структурой. Если смотреть с точки зрения теории информации, вычисление — это получение из входных данных нового знания.

Этот термин используется в широком диапазоне значений, от арифметического вычисления суммы чисел до вычисления шансов на победу в соревновании с использованием сложного эвристического анализа.

Примеры

Умножение 2 на 2 — это простое алгоритмическое вычисление.

Для статистической оценки вероятных результатов выборов на основе опросов общественного мнения также используются алгоритмические вычисления, но результаты представляются не точными числами, а как интервалы вероятностей.

Смотреть что такое «Вычисление» в других словарях:

вычисление — подсчёт, расчёт, счёт, итог, калькуляция, подсчитывание, высчитывание, отсчёт; калькулирование, расчет, прикидка, исчисление, просчитывание, подсчет Словарь русских синонимов. вычисление см. подсчёт Словарь синонимов русского языка. Практический… … Словарь синонимов

ВЫЧИСЛЕНИЕ — ВЫЧИСЛЕНИЕ, вычисления, ср. (книжн. научн.). 1. только ед. Действие по гл. вычислить вычислять. Произвести вычисление. 2. Результат этого действия, то, что получено посредством этого действия. Опубликовать свои вычисления. Толковый словарь… … Толковый словарь Ушакова

вычисление — ВШЫЧИСЛИТЬ, лю, лишь; ленный; сов. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 … Толковый словарь Ожегова

вычисление — вычисления Процесс выполнения арифметических и логических операций, а также обработки данных с помощью компьютера или других вычислительных средств. См. RISC. [Л.М. Невдяев. Телекоммуникационные технологии. Англо русский толковый словарь… … Справочник технического переводчика

ВЫЧИСЛЕНИЕ — получение числового результата некоторым алгоритмом из исходных данных … Большая политехническая энциклопедия

вычисление — ▲ определение (неявного) ↑ величина вычисление определение величины (произвести #). вычислять. счет (устный #). считать (# в уме). высчитать. счетный. расчет. расчетчик. рассчитать. подсчет. подсчитать. просчитать. насчитать. выкладки. прикинуть … Идеографический словарь русского языка

вычисление — skaičiavimas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. calculation; calculus; computation vok. Berechnung, f; Kalkulation, f; Rechnung, f; Zählung, f rus. вычисление, n; исчисление, n; расчёт, m; счёт, m pranc. calcul, m; compte, m … Automatikos terminų žodynas

вычисление — skaičiavimas statusas T sritis Standartizacija ir metrologija apibrėžtis Tam tikro uždavinio sprendimas remiantis kiekybiniais duomenimis. atitikmenys: angl. calculation; counting vok. Rechnen, f; Rechnung, f rus. вычисление, n pranc. calcul, m … Penkiakalbis aiškinamasis metrologijos terminų žodynas

вычисление — apskaičiavimas statusas T sritis chemija apibrėžtis Matematinio uždavinio sprendimas remiantis kiekybiniais duomenimis. atitikmenys: angl. calculation; computation rus. вычисление; исчисление; расчет … Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

вычисление — skaičiavimas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. calculation; computation; counting vok. Rechnen, n; Rechnung, f; Zählung, f rus. вычисление, n; расчёт, m; счёт, m pranc. calcul, m … Fizikos terminų žodynas

Источник

Вычислительная математика

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.

Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчётов. На её основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная химия, вычислительная биология и так далее.

Содержание

История

Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.

Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.

Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.

Основные направления

Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят [2] :

Особенности представления чисел в компьютере

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так например если взять машинное число длиной в 8 байт, то в нём можно запомнить только 2 64 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

Программное обеспечение

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности. Также, большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики.

Источник

Алгебра. Урок 1. Числа и вычисления

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Действия с дробями

Понятие обыкновенной, десятичной, смешанной дроби.

Обыкновенная дробь – дробь вида

где число a – числитель дроби, число b – знаменатель.
Примеры:

Обыкновенная дробь может быть правильной или неправильной, сократимой или несократимой:

Основное свойство обыкновенной дроби:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (натуральные числа – числа, которые используются при счете: 1, 2, 3, …), то получится дробь, равная данной.

Смешанную дробь всегда можно перевести в неправильную обыкновенную дробь.

3 1 2 = 3 ⋅ 2 + 1 2 = 7 2

2 7 8 = 2 ⋅ 8 + 7 8 = 23 8

90 12 77 = 90 ⋅ 77 + 12 77 = 6942 77

Десятичную дробь всегда можно перевести в смешанную дробь или в обыкновенную дробь с числителем и знаменателем. Так поступают, когда необходимо совершить действие между обыкновенной дробью и десятичной.

Перевод в смешанные дроби:

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

56,002 = 56 2 1000 = 56 1 500

Перевод в обыкновенные дроби:

Сложение и вычитание дробей.

Для того, чтобы складывать и вычитать смешанные дроби между собой, необходимо действовать следующим образом:

(1) 2 1 6 + 1 7 8 = 2 ⋅ 6 + 1 6 + 1 ⋅ 8 + 7 8 = 13 6 + 15 8 = 13 ⋅ 4 6 ⋅ 4 + 15 ⋅ 3 8 ⋅ 3 = 52 + 45 24 = 97 24 = 4 1 24

(2) 3 7 12 − 2 3 16 = 3 ⋅ 12 + 7 12 − 2 ⋅ 16 + 3 16 = 43 12 − 35 16 = 43 ⋅ 4 12 ⋅ 4 − 35 ⋅ 3 16 ⋅ 3 = 172 − 105 48 = 67 48 = 1 19 48

(3) 2 3 14 − 0,6 = 2 ⋅ 14 + 3 14 − 6 10 = 31 14 − 3 5 = 31 ⋅ 5 14 ⋅ 5 − 3 ⋅ 14 5 ⋅ 14 = 155 − 42 70 = 113 70 = 1 43 70

Умножение и деление дробей.

При умножении двух дробей числитель первой дроби умножается на числитель второй дроби, знаменатель первой дроби умножается на знаменатель второй:

При делении двух дробей необходимо первую дробь умножить на «перевёрнутую» предыдущую, то есть у дроби-делителя поменять местами числитель и знаменатель и поставить операцию умножения вместо операции деления между этими дробями:

(1) 2 3 4 ⋅ 8 11 ÷ 0,5 = 11 1 4 1 ⋅ 8 2 11 1 ÷ 5 1 10 2 = 2 ÷ 1 2 = 2 ⋅ 2 1 = 4

(2) 6 ÷ 2,25 ⋅ 1,5 = 6 1 ÷ 2 1 4 ⋅ 1 5 1 10 2 = 6 1 ÷ 9 4 ⋅ 3 2 = 6 3 1 ⋅ 4 9 3 ⋅ 3 1 2 1 = 4

Сравнение дробей.

Для того, чтобы сравнивать две дроби между собой, нужно уметь выполнять действия с дробями (сложение, вычитание, умножение, деление). При сравнении дробей, особенно в заданиях, где требуется расположить дроби в порядке возрастания или убывания, удобно приводить обыкновенную дробь к виду десятичной.

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой числитель больше.
Примеры:

\[\frac<4> <7>\frac<1><<14>>;\;\;\;\; \frac<2> <3>Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та дробь, у которой знаменатель меньше.
Примеры:

\[\frac<2> <7>\frac<7><<11>>;\;\;\;\; \frac<5> <4>> \frac<5><5>.\] Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести дроби к общему знаменателю.
Пример 1:

Приводим дроби к общему знаменателю:

Приходим к выводу, что:

Действия со степенями.

Запись 0 0 в математике не имеет смысла.

Свойства степеней с натуральным показателем:

Источник

Математика

Именная карта банка для детей
с крутым дизайном, +200 бонусов

Закажи свою собственную карту банка и получи бонусы

План урока:

Что такое математика?

Часто можно услышать высказывание «Математика-царица наук». А существует ли история математики, и что же это за наука? Так ли она необходима в современном мире?

Давайте разберемся, что такое математика:

В школьном курсе изучения представлены такие разделы математики:

В основе изучения математики лежит ряд математических понятий и действий, без понимания которых невозможно выполнять простейшие вычисления.

Понятие числа. Виды чисел

Классы и разряды чисел

Все существующие цифры сгруппированы по классам и разрядам натуральных чисел. Место цифры в записи числа называют разрядом. Самый маленький разряд – разряд единиц, за ним следует разряд десятков, сотен, тысяч.

При этом число разрядов в классе равняется 3. Самым большим числом класса единиц является 9, а самым большим числом класса тысяч 999999.

Математические действия

Существование математики невозможно без выполнения математических действий. Всего существует 4 вида арифметических действий:

Порядок выполнения математических действий в выражениях со скобками и без скобок

Так же имеется определенный порядок математических действий, запомнив который с легкостью можно решать задания любой сложности. Этот порядок зависит от наличия скобок и предложенных действий:

При отсутствии скобок, действия выполняются в обычном порядке. Вот правильный порядок математических действий в примере без скобок:

В любом выражении первыми необходимо выполнить умножение или деление в порядке очереди. Вот правильный порядок арифметических действий без скобок:

Когда выражение содержит скобки, первыми вычисляются действия в скобках, а потом по порядку все остальные. Вот необходимый порядок математических действий в примере со скобками:

Все очень просто. Если сразу запомнить не получается, то можно пользоваться этим уроком, как шпаргалкой!

Следующий интересный момент заключается в том, что любой компонент математического действия имеет свое название:

Правила нахождения неизвестного компонента при выполнении математических действий

Для того, чтобы максимально упростить решение задач и уравнений, существуют специальные правила нахождения неизвестного компонента:

— для нахождения одного из слагаемых необходимо от суммы отнять второе слагаемое:

-для нахождения уменьшаемого достаточно найти сумму разности и вычитаемого:

-для нахождения вычитаемого, нужно от уменьшаемого отнять разность

— для нахождения множителя, необходимо найти частное произведения и второго множителя

— для нахождения неизвестного делимого, необходимо найти произведение делителя и частного

— для нахождения неизвестного делителя, необходимо делимое разделить на частное

Основные законы выполнения действий (перместительный, сочетательный, распределительный)

Чтобы правильно и быстро выполнять любые арифметические действия всегда нужно помнить их основные законы, которые упрощают даже самый сложный процесс вычислений:

Переместительный закон для действий сложения и умножения.

Сформулируем переместительный закон сложения: при перестановке слагаемых сумма остается прежней.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон сложения a+b=b+a

21+39=60 или 39+21=6015×3=45 или 3×15=45

Использование переместительного закона умножения.

Давайте сформулируем переместительный закон умножения: в случае перестановки множителей произведение остается прежним.

Запишем равенство, выражающее переместительный закон умножения a*b=b*a

Применение сочетательного закона в сложении.

Давайте сформулируем сочетательный закон сложения: чтобы сложить число и сумму чисел достаточно найти сумму этого числа и любого слагаемого, и к ней прибавить второе слагаемое.

Запишем равенство, выражающее сочетательный закон сложения a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

Примеры сочетательного закона сложения:

20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=90 или 20+(60+10)=20+60+10=90

1 действие: 60+10=70 1 действие: 20+60=80

2 действие: 20+70=90 2 действие: 80+10=90

Использование сочетательного закона умножения.

Этот закон также распространяется и на действие умножение. Давайте сформулируем сочетательный закон умножения: если необходимо, выполнить умножение числа на произведение чисел, то можно любые два множителя заменить их произведением a×(b×c)=(a×b)×c=a×b×c

Применение распределительного закона.

Давайте разберемся, что такое распределительный закон и как он формулируется. Вот формулировка распределительного закона сложения: для умножения числа на сумму, необходимо найти произведения этого числа с одними вторым слагаемыми, а результаты сложить.

Запишем равенство, выражающее распределительный закон a×(b+c)=ab+ac

В случае, когда вычитаемое меньше или равно уменьшаемому, можно использовать распределительный закон для нахождения произведения числа и разности чисел. Для умножения числа на разность, необходимо сначала умножить на уменьшаемое, после на вычитаемое и найти разность полученных произведений. В буквенном виде записывается так: a×(b-c)=a×b-a×c, если b≥c

Достаточно понять или запомнить эти простые законы и тогда любые задачи или уравнения будут казаться очень простыми и интересными, а уроки математики станут любимыми.

Интересные сведения из истории возникновения математики

Откуда же взялась математика? Куда же уходит корнями история развития математики? Самым первым источником появления простейшей математики ученые считают пальцы на руках и ногах, а также различные части тела. Об этом свидетельствует множество наскальных рисунков, дошедших до нашего времени. Учеными установлено, что 6 тысяч лет назад древние вавилоняне уже использовали простые математические действия: для бытовых нужд, учета скота, подсчета количества урожая, размера прибыли и расходов, при совершении купли или продажи различных товаров. Позже они же первые упоминают о решении математических задач и уравнений повышенной сложности. К самым первым математическим открытиям относят возникновение математических действий, которые известны нам как сложение, вычитание, умножение и деление.

Ученые-историки до сих пор спорят о точной дате появления этой науки и о месте, где впервые она появилась. Конкурентами в этом споре выступают древний Вавилон и Египет. Самые первые подтверждения математической деятельности принадлежат Свазиленду. Там найдены кости бабуинов с нанесенными черточками, которые явно говорят о первых математических операциях, выполненных 40000 лет назад.

А когда же появились дроби? Упоминания о дробях возникли гораздо позже, но уже достоверно известно, что жители древнего Египта совершали операции с дробями, у которых числителем являлась единица.

А вот представление о десятичных дробях появилось всего лишь пять столетий назад, а в Европу попало только через 200 лет после появления.

Невероятные факты, связанные с математикой:

Математика очень дружна со всеми существующими науками, видами деятельности и профессиями. Одно мудрое выражение гласит «Математика-язык других наук». Поспорить с этим очень сложно, ведь она является основой для развития таких дисциплин:

Источник

Математика

Содержание

Основные сведения

Идеализированные свойства исследуемых объектов либо формулируются в виде аксиом, либо перечисляются в определении соответствующих математических объектов. Затем по строгим правилам логического вывода из этих свойств выводятся другие истинные свойства (теоремы). Эта теория в совокупности образует математическую модель исследуемого объекта. Таким образом первоначально, исходя из пространственных и количественных соотношений, математика получает более абстрактные соотношения, изучение которых также является предметом современной математики.

Традиционно математика делится на теоретическую, выполняющую углублённый анализ внутриматематических структур, и прикладную, предоставляющую свои модели другим наукам и инженерным дисциплинам, причём некоторые из них занимают пограничное с математикой положение. В частности, формальная логика может рассматриваться и как часть философских наук, и как часть математических наук; механика — и физика, и математика; информатика, компьютерные технологии и алгоритмика относятся как к инженерии, так и к математическим наукам и т. д. В литературе было предложено много различных определений математики (см. ниже).

Этимология

В текстах на русском языке слово «математика» или «мафематика» встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год) [5]

Определения

Одно из первых определений предмета математики дал Декарт [6] :

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера. Таким образом, должна существовать некая общая наука, объясняющая всё относящееся к порядку и мере, не входя в исследование никаких частных предметов, и эта наука должна называться не иностранным, но старым, уже вошедшим в употребление именем Всеобщей математики.

Математика… наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.

Это определение Энгельса [8] ; правда, далее Колмогоров поясняет, что все использованные термины надо понимать в самом расширенном и абстрактном смысле.

Сущность математики… представляется теперь как учение об отношениях между объектами, о которых ничего не известно, кроме описывающих их некоторых свойств,— именно тех, которые в качестве аксиом положены в основание теории… Математика есть набор абстрактных форм — математических структур.

Приведём ещё несколько современных определений.

Герман Вейль пессимистически оценил возможность дать общепринятое определение предмета математики:

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит в конце концов найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками.

Разделы математики

1. Математика как учебная дисциплина подразделяется в Российской Федерации на элементарную математику, изучаемую в средней школе и образованную дисциплинами:

и высшую математику, изучаемую на нематематических специальностях вузов. Дисциплины, входящие в состав высшей математики, варьируются в зависимости от специальности.

Программа обучения по специальности математика [13] образована следующими учебными дисциплинами:

2. Математика как специальность научных работников Министерством образования и науки Российской Федерации [14] подразделяется на специальности:

3. Для систематизации научных работ используется раздел «Математика» [15] универсальной десятичной классификации (УДК).

4. Американское математическое общество (AMS) выработало свой стандарт для классификации разделов математики. Он называется Mathematics Subject Classification. Этот стандарт периодически обновляется. Текущая версия — это MSC 2010. Предыдущая версия — MSC 2000.

Обозначения

Вследствие того, что математика работает с чрезвычайно разнообразными и довольно сложными структурами, система обозначений также очень сложна. Современная система записи формул сформировалась на основе европейской алгебраической традиции, а также математического анализа (понятия функции, производной и т. д.). Геометрия испокон века пользовалась наглядным (геометрическим же) представлением. В современной математике распространены также сложные графические системы записи (например, коммутативные диаграммы), нередко также применяются обозначения на основе графов.

Краткая история

Академиком А. Н. Колмогоровым предложена такая структура истории математики:

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека, — качественное достижение мышления человека. Кроме того, что древние люди узнали, как считать конкретные объекты, они также поняли, как вычислять и абстрактные количества, такие, как время: дни, сезоны, года. Из элементарного счёта естественным образом начала развиваться арифметика: сложение, вычитание, умножение и деление чисел.

Развитие математики опирается на письменность и умение записывать числа. Наверно, древние люди сначала выражали количество путём рисования чёрточек на земле или выцарапывали их на древесине. Древние инки, не имея иной системы письменности, представляли и сохраняли числовые данные, используя сложную систему верёвочных узлов, так называемые кипу. Существовало множество различных систем счисления. Первые известные записи чисел были найдены в папирусе Ахмеса, созданном египтянами Среднего царства. Индская цивилизация разработала современную десятичную систему счисления, включающую концепцию нуля.

Исторически основные математические дисциплины появились под воздействием необходимости вести расчёты в коммерческой сфере, при измерении земель и для предсказания астрономических явлений и, позже, для решения новых физических задач. Каждая из этих сфер играет большую роль в широком развитии математики, заключающемся в изучении структур, пространств и изменений.

Философия математики

Цели и методы

Математика изучает воображаемые, идеальные объекты и соотношения между ними, используя формальный язык. В общем случае математические понятия и теоремы не обязательно имеют соответствие чему-либо в физическом мире. Главная задача прикладного раздела математики — создать математическую модель, достаточно адекватную исследуемому реальному объекту. Задача математика-теоретика — обеспечить достаточный набор удобных средств для достижения этой цели.

Содержание математики можно определить как систему математических моделей и инструментов для их создания. Модель объекта учитывает не все его черты, а только самые необходимые для целей изучения (идеализированные). Например, изучая физические свойства апельсина, мы можем абстрагироваться от его цвета и вкуса и представить его (пусть не идеально точно) шаром. Если же нам надо понять, сколько апельсинов получится, если мы сложим вместе два и три, — то можно абстрагироваться и от формы, оставив у модели только одну характеристику — количество. Абстракция и установление связей между объектами в самом общем виде — одно из главных направлений математического творчества.

Другое направление, наряду с абстрагированием — обобщение. Например, обобщая понятие «пространство» до пространства n-измерений. «Пространство , при 3″ border=»0″ /> является математической выдумкой. Впрочем, весьма гениальной выдумкой, которая помогает математически разбираться в сложных явлениях». [16]

Изучение внутриматематических объектов, как правило, происходит при помощи аксиоматического метода: сначала для исследуемых объектов формулируются список основных понятий и аксиом, а затем из аксиом с помощью правил вывода получают содержательные теоремы, в совокупности образующие математическую модель.

Основания

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века наблюдается сравнительное согласие в вопросе, что надлежит считать строгим математическим доказательством, однако отсутствует согласие в понимании того, что в математике считать изначально истинным. Отсюда вытекают разногласия как в вопросах аксиоматики и взаимосвязи отраслей математики, так и в выборе логических систем, которыми следует при доказательствах пользоваться.

Помимо скептического, известны нижеперечисленные подходы к данному вопросу.

Теоретико-множественный подход

Предлагается рассматривать все математические объекты в рамках теории множеств, чаще всего с аксиоматикой Цермело — Френкеля (хотя существует множество других, равносильных ей). Данный подход считается с середины XX века преобладающим, однако в действительности большинство математических работ не ставят задач перевести свои утверждения строго на язык теории множеств, а оперируют понятиями и фактами, установленными в некоторых областях математики. Таким образом, если в теории множеств будет обнаружено противоречие, это не повлечёт за собой обесценивание большинства результатов.

Логицизм

Данный подход предполагает строгую типизацию математических объектов. Многие парадоксы, избегаемые в теории множеств лишь путём специальных уловок, оказываются невозможными в принципе.

Формализм

Данный подход предполагает изучение формальных систем на основе классической логики.

Интуиционизм

Интуиционизм предполагает в основании математики интуиционистскую логику, более ограниченную в средствах доказательства (но, как считается, и более надёжную). Интуиционизм отвергает доказательство от противного, многие неконструктивные доказательства становятся невозможными, а многие проблемы теории множеств — бессмысленными (неформализуемыми).

Конструктивная математика

Основные темы

Числа

Понятие «число» первоначально относилось к натуральным числам. В дальнейшем оно было постепенно распространено на целые, рациональные, действительные, комплексные и другие числа.

Натуральные числа Целые числа Рациональные числа Вещественные числа
Комплексные числа	Кватернионы

Числовые системы
Счётные множества	Натуральные числа () • Целые () • Рациональные () • Алгебраические () • Периоды • Вычислимые • Арифметические
Вещественные числа и их расширения	Вещественные () • Комплексные () • Кватернионы () • Числа Кэли (октавы, октонионы) () • Седенионы () • Альтернионы • Процедура Кэли — Диксона • Дуальные • Гиперкомплексные • Суперреальные • Гиперреальные • Surreal number (англ.)
Другие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
См. также	Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные • Числовой луч • Бикватернион

Преобразования

Арифметика	Дифференциальное и интегральное исчисление	Векторный анализ	Анализ
Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса

Структуры

Пространственные отношения

Более наглядные подходы в математике.

Дискретная математика

Дискретная математика включает средства, которые применяются над объектами, способными принимать только отдельные, не непрерывные значения.

Математическая логика	Теория вычислимости	Криптография	Теория графов

Коды в системах классификации знаний

Онлайновые сервисы

Существует большое число сайтов, предоставляющих сервис для математических расчётов. Большинство из них англоязычные. [20] Из русскоязычных можно отметить сервис математических запросов поисковой системы Nigma.

Источник