Гипербола что это математика

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Источник

Перед вами родственные кривые, полученные при сечении конуса плоскостью. Парабола, эллипс (окружность), гипербола.

Что такое гипербола в математике

Это геометрическое место точек M, физическая разница расстояний от которых до выбранных (F₁, F₂), называемых фокусами, постоянна.

Оговоримся, что все сказанное относится к Евклидовой плоскости, где параллельные прямые не пересекаются.

Но если из отрезка |F₁F₂| соорудить координатную прямую X, за начальную точку взять середину (она же будет центром гиперболы) отрезка, то получим декартову систему координат. Где кривая описывается алгебраическим уравнением II-го порядка.

Получим классическую формулу аналитической геометрии:

где a – действительная полуось, b – мнимая.

поскольку x и y связаны квадратной зависимостью, обе оси будут осями симметрии;

пересечения с осью абсцисс (фокусов) с координатами ±a называются вершинами гиперболы, и расстояние между ними является минимальной дистанцией между ветвями (о последних ниже);

кратчайший отрезок от фокуса до вершины зовется перицентрическим расстоянием и пишется «r_p».

Асимптоты и фокусы гиперболы

Фокусы находятся на оси X (из этого исходили). Расстояние до центра гиперболы (он же центр симметрии C) называется фокальным и обозначается «c». Его формула:

Умозрительно очевидно, что сечение конуса состоит из двух кривых. Называются они ветвями гиперболы. Также не подлежит сомнению то, что ветви ограничены воображаемой поверхностью. Фокусы всегда находятся внутри ветвей.

Помучившись с производными и пределами, получим формулы асимптот (прямые, расстояние до которых от кривой стремится к нулю на бесконечном удалении от «0»):

Дистанцию от фокуса до асимптоты зовут прицельным параметром и обозначают буквой «b».

Как построить график функции гиперболы

Существует много ресурсов, где можно онлайн наблюдать, как строится функция. Но нужно все уметь самому. Итак, давайте учиться.

Построим для примера график уравнения

По формуле выше выстраиваем асимптоты.

Отмечаем вершины х = ±2 (А1, А2). Приблизительный вид уже ясен.

При х = ±3, y = ±3,5 (примерно).

Эксцентриситет гиперболы

Эксцентриситетом считают величину:

Является параметром, характеризующим отклонение конического сечения от окружности:

кривые с равным эксцентриситетом подобны;

показатель угла наклона асимптот.

Равнобочная (равносторонняя) гипербола

Таковой кривая является при условии a = b. Если покрутить систему координат, функцию можно свести к виду:

Эксцентриситет данной конструкции составит квадратный корень из 2.

Иначе говоря, получаем график обратной пропорциональности:

Или «любимую» школьниками.

Коль уж речь зашла о школьном курсе, добавим сведений:

прямые x = 0, y = 0 – асимптоты;

область определения – все действительные числа, кроме 0;

область значений – все, за исключением 0;

функция нечетная, поскольку меняет знак при смене знака аргумента;

убывающая при положительных и отрицательных x.

Касательная и нормаль

В каждой точке гладкой кривой возможно построить касательную и нормаль (перпендикуляр). Гипербола – не исключение. Касательная – прямая, совпадающая с кривой только в одной точке (в пределах изгиба одного порядка).

Уравнение касательной в точке с координатами (x₀y₀) имеет вид:

Сопряженные гиперболы

Записанное таким образом уравнение даст сопряженную фигуру:

То есть с теми же асимптотами, но расположенную по-другому, с поворотом на 90°.

Свойства гиперболы

Их должен знать каждый школьник:

Касательная в произвольной точке H окажется биссектрисой угла F₁HF₂.

Кривая симметрична относительно осей и своего центра.

Отсеченный асимптотами отрезок касательной делится точкой соприкосновения пополам. Площадь же выделенного треугольника не меняется от изменения точки.

Использование

Где применяются знания о гиперболе:

для создания эллиптических и других координат;

в солнечных часах (сечение конуса света);

для анализа движения космических объектов.

Заключение

Непростая кривая с неожиданными в некоторых случаях применением. Что удивительно, задача о сечениях конуса была поставлена древнегреческими учеными во II-м веке до нашей эры. Это говорит о высочайшем уровне тогдашних инженеров.

Нет, солнечные часы понятно были, а мелких искусственных спутников не было точно. И астероиды не исследовали, но вопросы возникали. И были ответы без ссылок на многочисленных богов. Удивительные люди.

Источник

Гипербола (математика)

причем 2a > 0.» border=»0″ />

Наряду с эллипсом и параболой, гипербола является коническим сечением и квадрикой. Гипербола может быть определена как коническое сечение с эксцентриситетом, большим единицы.

Содержание

История

Термин «гипербола» (греч. ὑπερβολή — избыток) был введён Аполлонием Пергским (ок. 262 год до н. э. — ок. 190 год до н. э.), поскольку задача о построении точки гиперболы сводится к задаче о приложении с избытком.

Определения

Гипербола может быть определена несколькими путями.

Коническое сечение

Гипербола может быть определена, как множество точек, образуемое в результате сечения кругового конуса плоскостью, отсекающей обе части конуса. Другими результатами сечения конуса плоскостью являются парабола, эллипс, а также такие вырожденные случаи, как пересекающиеся и совпадающие прямые и точка, возникающие, когда секущая плоскость проходит через вершину конуса. В частности, пересекающееся прямые можно считать вырожденной гиперболой, совпадающей со своими асимптотами.

Как геометрическое место точек

Через фокусы

Гипербола может быть определена, как Геометрическое место точек, абсолютная величина разности расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Для сравнения: кривая постоянной суммы расстояний между двумя точками — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянного произведения — овал Кассини.

Через директрису и фокус

Геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до фокуса и до заданной прямой, называемой директрисой, постоянно и больше единицы, называется гиперболой. Заданная постоянная 1″ border=»0″ /> называется эксцентриситетом гиперболы.

Связанные определения

Асимптоты гиперболы (красные кривые), показанные голубым пунктиром, пересекаются в центре гиперболы, C. Два фокуса гиперболы обозначены как F₁ и F₂. Директрисы гиперболы обозначены линиями двойной толщины и обозначены D₁ и D₂. Эксцентриситет ε равен отношению расстояний точки P на гиперболе до фокуса и до соответствующей директрисы (показаны зелёным). Вершины гиперболы обозначены как ±a. Параметры гиперболы обозначают следующее:

a — расстояние от центра C до каждой из вершин
b — длина перпендикуляра, опущенного из каждой из вершин на асимптоты
c — расстояние от центра C до любого из фокусов, F₁ и F₂,
θ — угол, образованный каждой из асимптот и осью, проведённой между вершинами

Соотношения

Для характеристик гиперболы определённых выше подчиняются следующим соотношениям

Типы гипербол

Гиперболу, у которой , называют равнобочной. Равнобочная гипербола в некоторой прямоугольной системе координат описывается уравнением

при этом фокусы гиперболы располагаются в точках (a, a) и (−a,−a).

Гиперболы, связанные с треугольником

Уравнения

Декартовы координаты

Гипербола задаётся уравнением второй степени в декартовых координатах (x, y) на плоскости:

,

Канонический вид

Перемещением центра гиперболы в начало координат и вращением её относительно центра уравнение гиперболы можно привести к каноническому виду

,

Полярные координаты

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а вершина гиперболы лежит на продолжении полярной оси, то

Если полюс находится в фокусе гиперболы, а полярная ось параллельна одной из асимптот, то

Уравнения в параметрической форме

В первом уравнении знак «+» соответствует правой ветви гиперболы, а «-» — её левой ветви.

Свойства

Асимптоты

Для гиперболы, заданной в каноническом виде

уравнения двух асимптот имеют вид:

.

Диаметры и хорды

Диаметром гиперболы, как и всякого конического сечения, является прямая, проходящая через середины параллельных хорд. Каждому направлению параллельных хорд соответствует свой сопряженный диаметр. Все диаметры гиперболы проходят через её центр. Диаметр, соответствующий хордам, параллельным мнимой оси, есть действительная ось; диаметр соответствующий хордам, параллельным действительной оси, есть мнимая ось.

Угловой коэффициент параллельных хорд и угловой коэффициент соответствующего диаметра связан соотношением

Если диаметр a делит пополам хорды, параллельные диаметру b, то диаметр b делит пополам хорды, параллельные диаметру a. Такие диаметры называются взаимно сопряженными. Главными диаметрами называются взаимно сопряженные и взаимно перпендикулярные диаметры. У гиперболы есть только одна пара главных диаметров — действительная и мнимая оси.

Касательная и нормаль

Поскольку гипербола является гладкой кривой, в каждой её точке (x₀, y₀) можно провести касательную и нормаль. Уравнение касательной к гиперболе, заданной каноническим уравнением, имеет вид:

,

или, что то же самое,

.

Уравнение касательной произвольной плоской линии имеет вид

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

.

Тогда производная этих функций имеет вид

.

Подставив это уравнение в общее уравнение касательной, получим

Уравнение нормали к гиперболе имеет вид:

.

Уравнение нормали произвольной плоской линии имеет вид

.

Каноническое уравнение гиперболы можно представить в виде пары функций

.

Тогда производная этих функций имеет вид

.

Подставив это уравнение в общее уравнение нормали, получим

.

Кривизна и эволюта

Кривизна гиперболы в каждой её точке (x, y) определяется из выражения:

.

Соответственно, радиус кривизны имеет вид:

.

В частности, в точке (a, 0) радиус кривизны равен

.

Формула для радиуса кривизны плоской линии, заданной параметически, имеет вид:

.

Воспользуемся параметрическим представлением гиперболы:

Тогда, первая производная x и y по t имеет вид

,

Подставляя эти значения в формулу для кривизны получаем:

.

Координаты центров кривизны задаются парой уравнений:

Подставив в последнюю систему уравнений вместо x и y их значения из параметрического представления гиперболы, получим пару уравнений, задающих новую кривую, состоящую из центров кривизны гиперболы. Эта кривая называется эволютой гиперболы.

Применения

См. также

Примечания

Литература

Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)